彭道意的數學博客

我和朋友們翻譯了幾本數學書： 數學反思2006-2007（Mathematical Reflections the first two years），蒂圖·安德雷斯庫（Titu Andreescu）著，姜國，彭道意，曾熊，馬明輝，李永濤 譯，哈爾濱工業大學出版社，2022年。 新的、更新的、最新的不 Read More

幾個積性函數的均值 Euler 示性函數 $\varphi(n)=n\prod_{p\mid n} \left(1-\frac1{p} \right)$ 對應的 Dirichlet 級數為 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\ Read More

本文推廣了多重小數部分和的漸近式與 Ovidiu Furdui 積分問題一文中的結果。 最近，王永強先生推廣 $2$ 重和式的結果，然后我將其推廣到 $k$ 重和式。具體文章將繼續投稿給大學數學雜志。 對于正整數 $k\geqslant 3$, 正整數 $a_1,\dotsc, a_k \in \m Read More

王永強先生證明了如下公式： \begin{equation*} \sum_{n \leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \Big\{ \frac{x}{m+n} \Big\} = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)x^{2} +O Read More

一個極限問題 最近（11月），考慮了如下問題，好友馬明輝給出了一個解答（見微信公眾號：Xionger 的數學小屋），然而，我只寫出了第一問，哈哈。 設 $x_{n}$ $(n\geqslant 2)$ 是如下方程 \begin{equation}\label{eq:1} x^{-n} = \sum_ Read More

正整數互素的概率問題 2018 年 10 月 14 最近，馬明輝和我考慮了一些正整數互素的概率問題。 Euler 乘積公式, 對 $\Re(s)>1$ 有\begin{equation*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p Read More

一類多重小數部分和的漸近式與Ovidiu Furdui積分問題 最近（6月），網友王永強先生發給好友曾熊一個漸近式，即如下 $k=2$ 的情形，熊哥轉述給我后，覺得比較有意思，然后我和馬明輝做了推廣，考慮了如下 $k$ 重和式 \begin{equation}\label{eq:1} \sum_{n Read More

$\prod\limits_{\substack{(k,n)=1 \\ 1\leqslant k \leqslant n}} k$ 的階 2018 年 6 月 8 日 網友王永強先生發給我的朋友熊哥（曾熊）如下結果，一個數論不等式： 熊哥希望我能給出證明，但是我并沒有完全證明出來，不過基本上我能夠給 Read More

Gauss 雙伽馬定理 \begin{equation}\label{1} \psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\cot{\frac{\pi p}{q}}-\ln{q}+\sum_{n=1}^{q-1} \cos\frac{2\pi n Read More

中國科學院大學2016 年招收攻讀碩士學位研究生入學統一考試試題數學分析1. 計算極限\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2x}+\dotsb+\mathrm{e}^{nx}}{n}\right... Read More

無平方因子數的分布(Ⅰ)Daoyi PengMay 23, 2015● 卷積方法余項估計定義 1 乘性函數 $n\mapsto \mu^2(n)$, 其部分和\begin{equation*} Q(x):=\sum_{n\leqslant x}\mu^2(n)\end{equation*}等于不超過... Read More

正五邊形的尺規作圖 Daoyi Peng May 22, 2014 這個作圖是我初中時得到的，念大學時，將其寫出來交給我的《初等數學研究》課程老師。 Ptolemy 定理 圓內接四邊形的對角線長度之積等於兩組對邊長度乘積之和. Fig 1 為正五邊形 $ABCDE$, 考慮圓內接四邊形 $ABDE$ Read More

Riemann zeta 函數 (Ⅱ) June 12, 2012 Riemann 的論文思路 Riemann 的論文思路 下面按照 Riemann 論文的思路揭示 $\zeta(s)$ 與素數的關系. 將 Euler 乘積公式\[\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\fr Read More

Riemann zeta 函數 (Ⅰ) December 12, 2012 Euler 乘積公式 Euler 乘積公式 Riemann 的基本思想是將 Euler 乘積公式推廣到復變量的情形. 為此他對所有實部 $\sigma>1$ 的復數 $s$ (設 $s=\sigma+\mathrm{i}\t Read More

第五屆中國大學生數學競賽預賽試題數學類2013 年 10 月 26 日一、 (15 分) 平面 $\mathbb{R}^2$ 上兩個半徑為 $r$ 的圓 $C_1,C_2$ 外切于點 $P$. 將圓 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圓周 (無滑動) 滾動一周, 這時 $C_2$ 上的 $P$ 點也隨 ... Read More

作為劉浩老的初等數論課程助教，給大二學弟學妹簡單地介紹了 Fermat 大定理，或者說是歷史導引。 Read More

雙紐線周率與算術幾何平均 彭道意 2012年11月23日 雙紐線 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$ 時常出現在我們教材的例題或課后習題中, 鑒于此, 這篇短文主要介紹雙紐線周長的計算. 也是橢圓周長的計算一文的后續. 雙紐線也稱伯努利雙紐線 (Lemniscate of Bern Read More