正整數(shù)互素的概率問題

2018 年 10 月 14

最近，馬明輝和我考慮了一些正整數(shù)互素的概率問題。

Euler 乘積公式, 對 $\Re(s)>1$ 有
\begin{equation*}
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \left( 1- \frac{1}{p^s} \right)^{-1},
\end{equation*}
其中 $\zeta(s)$ 為 Riemann zeta 函數(shù).

任意兩個正整數(shù)互素的概率是
\begin{equation*}
\prod_{p} \left(1-\frac{1}{p^2} \right) = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2},
\end{equation*}

任意 $k$ ($k\geqslant 2$) 個正整數(shù)互素的概率是
\begin{equation*}
\prod_{p} \left(1-\frac{1}{p^k} \right) = \frac{1}{\zeta(k)},
\end{equation*}

任意 $k$ 個正整數(shù)兩兩互素的概率是
\begin{equation*}
\prod_{p} \left( \left(1-\frac{1}{p} \right)^{k} + \binom{k}{1} \frac{1}{p} \left(1-\frac{1}{p} \right)^{k-1} \right) = \prod_{p} \left( 1- \frac{1}{p} \right)^{k-1} \left(1+\frac{k-1}{p} \right).
\end{equation*}

設 $(a,b)=1$ 且 $a,b \in \mathbb{N}_{+}$, 算術數(shù)列 $\{ an+b \}_{n\geqslant 0}$ 中任意 $k$ 個數(shù)互素的概率為

\begin{equation*}
\prod_{p \nmid a} \left(1- \frac{1}{p^k} \right).
\end{equation*}

當然我們也考慮了算術數(shù)列中任意 $k$ 個數(shù)兩兩互素的概率，并做了推廣。