中國(guó)科學(xué)院大學(xué)

2016 年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)統(tǒng)一考試試題

數(shù)學(xué)分析

1. 計(jì)算極限

\begin{equation*}
    \lim_{x\to 0} \left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2x}+\dotsb+\mathrm{e}^{nx}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}.
  \end{equation*}

2.  求定積分

\begin{equation*}
    I=\int_{0}^{1} \log(1+\sqrt{x})\, \mathrmw0obha2h00x.
  \end{equation*}

3.  求二重極限

\begin{equation*}
    \lim_{\substack{x\to \infty \\ y\to \infty }} \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}.
  \end{equation*}

4. 設(shè) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上連續(xù)正函數(shù), 求證存在 $\xi \in(a,b)$, 使得
  \begin{equation*}
    \int_{a}^{\xi} f(x)\,\mathrmw0obha2h00x = \int_{\xi}^{b} f(x)\, \mathrmw0obha2h00x =\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrmw0obha2h00x.
  \end{equation*}

5. 求以下曲面所圍立體的體積:

\begin{align*}
   & S_1 \colon  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2}=1, \\
   & S_2 \colon \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2} \quad (z\geqslant 0).
  \end{align*}

6. 設(shè) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的連續(xù)函數(shù), 且 $f(x)$ 單調(diào)遞增. 求證:
  \begin{equation*}
    \int_{a}^{b} tf(t) \, \mathrmw0obha2h00t \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(t)\,\mathrmw0obha2h00t.
  \end{equation*}

7. 若數(shù)列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ 滿足如下條件:

    (a) $a_1\geqslant a_2 \geqslant \dotsc$ 且 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n =0$;

    (b) 存在正數(shù) $M$, 對(duì)任意的正整數(shù) $n$, 均有 $\left|\sum\limits_{k=1}^{n}b_k  \right| \leqslant M$.

    證明級(jí)數(shù) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收斂.

8. 設(shè) $0\leqslant a< b/2$, $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù), 在 $(a,b)$ 上可導(dǎo)且 $f(a)=a$, $f(b)=b$.

    (a) 求證存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f(\xi)=b-\xi$;

    (b) 若 $a=0$, 求證存在 $\alpha, \beta\in (a,b)$, $\alpha\neq \beta$, 使得 $f'(\alpha)f'(\beta)=1$.

9. 求橢圓 $x^2+4y^2=4$ 上到直線 $2x+3y=6$ 距離最短的點(diǎn), 并求其最短距離.

10. 半徑為 $R$ 的球面 $S$ 的球心在單位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上, 求球面 $S$ 在單位球內(nèi)面積的最大值, 并求出此時(shí)的 $R$.