正五邊形的尺規作圖

Daoyi Peng

May 22, 2014

這個作圖是我初中時得到的，念大學時，將其寫出來交給我的《初等數學研究》課程老師。

Ptolemy 定理   圓內接四邊形的對角線長度之積等於兩組對邊長度乘積之和.

Fig 1 為正五邊形 $ABCDE$, 考慮圓內接四邊形 $ABDE$, 其中 $|AB|=|AE|=|ED|=a$, $|BD|=|AD|=|BE|=b$, 由 Ptomlemy 定理, 有

\[|AB|\cdot |ED| +|AE|\cdot |BD| = |AD|\cdot |BE|.\]

即得

\[a^2+ab=b^2.\]

注意到 $\displaystyle a=2R\sin\frac{\pi}{5}, b=2R\sin\frac{2\pi}{5}$, 從而 

\[4R^2 \sin^2\frac{\pi}{5} + 4R^2 \sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5} =4R^2 \sin^2\frac{2\pi}{5},\]

使用倍角公式 $\displaystyle \sin\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}$, 上式化為 

\[1+ 2\cos\frac{\pi}{5} = 4\cos^2\frac{\pi}{5}.\]

解得

\[\cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}.\]

於是

\[\sin\frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}. \]

只需尺規作出長度為 $\sqrt{10-2\sqrt{5}}$, 即可得到正五邊形.

下面給出正五邊形尺規作圖過程.

Fig 2 中, 作圓 $O$, 易做兩垂直的直徑, 點 $B$ 為所在半徑的中點, 以 $AB$ 長為半徑, $B$ 為圓心畫弧, 交直徑于點 $C$. 以 $A$ 為圓心, $AC$ 長為半徑作圓弧, 交圓 $O$ 于 $D$ 點. $AD$ 長即為圓 $O$ 內接正五邊形的邊長.

\[|AO|=2,\ |BO|=1,\  |AB|=|BC|=\sqrt{5},\  |OC|=\sqrt{5}-1,\  |AC|=\sqrt{10-2\sqrt{5}}.\]