王永強先生證明了如下公式： 

\begin{equation*} \sum_{n \leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \Big\{ \frac{x}{m+n} \Big\} = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)x^{2} +O (x\log x) \end{equation*}

其中 $\{ \cdot \}$ 表示小數部分.

當時（6 月），王先生將其結果發給我的朋友曾熊，隨后我與馬明輝給出了證明并做了推廣（見多重小數部分和的漸近式與Ovidiu Furdui積分問題）。感謝王先生提供了一個有意思的結果。現在將王先生的證明方法呈現，這個證明更有數論意義。

證明    對固定的正整數 $n$, 考慮調和數的漸近式有 \begin{align*} \sum_{m\leqslant x} \frac{1}{m+n} & = \sum_{m\leqslant n+x} \frac{1}{m} - \sum_{m\leqslant n} \frac{1}{m} \\ & = \log(n+x) + \gamma +O\Big(\frac{1}{n+x} \Big) - \log n - \gamma + O\Big(\frac{1}{n} \Big) \\ & = \log \Big( 1+ \frac{x}{n} \Big) + O\Big( \frac{1}{n}\Big). \end{align*} 再對 $n$ 求和, 并使用 Stirling 公式, 可得 \begin{align*} \sum_{n\leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \frac{1}{m+n} & = \sum_{n\leqslant x} \left(\log \Big( 1+ \frac{x}{n} \Big) + O\Big( \frac{1}{n}\Big) \right) = \sum_{n\leqslant x} \log \frac{n+x}{n} + O (\log x) \\ & = \log (2[x])! - 2 \log [x]! + O(\log x) \\ & = 2x(\log 2x) -2x + O(\log 2x) - 2 (x\log x -x + O(\log x)) + O(\log x) \\ & = (2\log 2) x + O(\log x). \end{align*} 于是有 \begin{equation}\label{eq:3} \sum_{n\leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \frac{x}{m+n} = (2\log 2) x^2 + O(x\log x). \end{equation} 另一方面, \begin{equation*} \sum_{n \leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \Big[ \frac{x}{m+n} \Big] = \sum_{\ell \leqslant x} f(\ell) \end{equation*} 其中 $f(\ell)$ 是 $m+n \mid \ell$ 的正整數解的個數. 令 $m+n = d$, 其正整數解的個數為 $d-1$, 于是 \begin{equation*} f(\ell) = \sum_{d \mid \ell} (d-1) = \sum_{d\mid \ell} d - \sum_{d\mid \ell} 1 = \sigma(\ell) - \tau(\ell). \end{equation*} 從而 \begin{equation*} \sum_{n \leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \Big[ \frac{x}{m+n} \Big] = \sum_{n\leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \Big( \frac{x}{m+n} - \Big\{ \frac{x}{m+n} \Big\} \Big) = \sum_{\ell \leqslant x} ( \sigma(\ell) - \tau(\ell) ). \end{equation*} 其中 \begin{equation*} \sum_{\ell \leqslant x} \sigma(\ell) = \frac{\pi^2}{12} x^2 + O(x \log x), \quad \sum_{\ell \leqslant x} \tau(\ell) = x \log x + O(x) \end{equation*} 再結合 \eqref{eq:3} 式, 即證.

下面我給出更精細的余項

• A. Walfisz (1963) \begin{equation*} \sum_{\ell \leqslant x} \sigma(\ell) = \frac{\pi^2}{12} x^2 + O \big( x \log^{2/3} x \big) \end{equation*} J. Bourgain 和 N. Watt (2017) \begin{equation*} \sum_{\ell \leqslant x} \tau(\ell) = x \log x + (2\gamma-1)x + O\big( x^{\frac{517}{1648}+\varepsilon} \big). \end{equation*} 其中 \eqref{eq:3} 式我們有更精細的估計 \begin{equation*} \sum_{n\leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \frac{x}{m+n} = (2\log 2) x^2 - x\log x + \Big(\log 2 - \frac{1}{2} - \gamma \Big) x + O(1). \end{equation*} 于是 \begin{equation*} \sum_{n \leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \Big\{ \frac{x}{m+n} \Big\} = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)x^{2} + O\big( x \log^{2/3} x \big). \end{equation*}