Fido_Puppy の小窩

摘要： \(1.\) 若函數(shù) \(f(x)=ax+\ln x-\dfrac{x^2}{x-\ln x}\) 有三個不同的零點，求實數(shù) \(a\) 的取值范圍。 \(f(x)=0\) 即 \(a=\dfrac{x}{x-\ln x}-\dfrac{\ln x}{x}\)，令 \(g(x)=\dfrac{x}{ 閱讀全文

摘要： 已知點 \(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)，動點 \(M(x,y)\) 滿足直線 \(AM\) 與 \(BM\) 的斜率之積為 \(-\dfrac12\)。記 \(M\) 的軌跡為曲線 \(C\)。 求 \(C\) 的方程，并說明 \(C\) 是什么曲線； 過坐標原點的直線交 \(C\) 閱讀全文

摘要： 已知橢圓 \(M:\dfrac{x^2}{3}+y^2=1\)，斜率為 \(k\) 的直線 \(l\) 與橢圓 \(M\) 有兩個不同的交點 \(A\)，\(B\)。設 \(P(-2,0)\)，直線 \(PA\) 與橢圓 \(M\) 的另一個交點為 \(C\)，直線 \(PB\) 與橢圓 \(M\) 閱讀全文

摘要： 橢圓 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率為 \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)，\(A\)、\(C\) 分別為 \(E\) 的上、下頂點，\(B\)、\(D\) 分別為 \(E\) 的左、右頂點，\(|AC|= 閱讀全文

摘要： 已知 \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)，求證 \(x^2+y^2=1\)。 \[x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1 \]\[x\sqrt{1-y^2}=1-y\sqrt{1-x^2} \]\[x^2(1-y^2)=1+y^2(1-x^2)-2 閱讀全文

摘要： 給定 \(a,b>0\)，求 \(\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}\) 的最小值。 \[\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2} \]\[=1-\dfrac{ab}{a^2+3ab+ 閱讀全文

摘要： 例 \(1\)：已知函數(shù) \(f(x)=ae^x\ln x\)（\(a\ne 0\)），若 \(\forall x\in (0,1)\)，\(f(x)<x^2+x\ln a\)，求 \(a\) 的取值范圍。 \[ae^x\ln x<x^2+x\ln a \]\[ae^x\ln x<x\ln(ae^x 閱讀全文

摘要： 電容器電容為 \(C\)，磁感應強度為 \(B\)，導體棒長度為 \(L\)，質量為 \(m\)，重力加速度 \(g\)。 設關于時間 \(t\) 的函數(shù) \(E(t),U(t),Q(t),I(t),v(t),a(t)\)。 \[\begin{cases} E(t)=BLv(t)\\ U(t)=E( 閱讀全文

摘要： 速度為 \(v_0\) 的小球 \(A\) 撞到了靜止的小球 \(B\)，小球 \(A\)、\(B\) 的質量分別為 \(m_1\)、\(m_2\)，\(A\) 和 \(B\) 之間為彈性碰撞，求碰撞后 \(A\) 的速度 \(v_1\) 和 \(B\) 的速度 \(v_2\)。 \[\begin{ 閱讀全文

摘要： 若正數(shù) \(a,b\) 滿足 \(ab(a+8b)=20\)，求 \(a+3b\) 的最小值。 1. 拉格朗日乘數(shù)法 定義拉格朗日函數(shù) \(L(a,b,\lambda)=a+3b-\lambda[ab(a+8b)-20]\)。 \(c(\vec{x})=ab(a+8b)-20\)，又因為 \(a,b 閱讀全文