\(1.\) 若函數 \(f(x)=ax+\ln x-\dfrac{x^2}{x-\ln x}\) 有三個不同的零點，求實數 \(a\) 的取值范圍。

\(f(x)=0\) 即 \(a=\dfrac{x}{x-\ln x}-\dfrac{\ln x}{x}\)，令 \(g(x)=\dfrac{x}{x-\ln x}-\dfrac{\ln x}{x}\)。

\(g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{{(x-\ln x)}^2}-\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{(1-\ln x)(2x-\ln x)\ln x}{{(x-\ln x)}^2x^2}\)，\(2x-\ln x>0\)，只需看 \((1-\ln x)\ln x\) 的正負，所以 \(g(x)\) 在 \((0,1]\) 單調遞減，\([1,e]\) 單調遞增，\([e,+\infty)\) 單調遞減，\(x\to 0\) 時，\(g(x)\to +\infty\)，\(x\to +\infty\) 時，\(g(x)\to 1\)。

\(a\in(\max(g(1),1),g(e))\)，\(a\in\left(1,\dfrac{e}{e-1}-\dfrac1e\right)\)。

\(2.\) 已知 \(f(x)\) 是定義在區間 \(\left(\dfrac12, +\infty\right)\) 上的函數，\(f'(x)\) 是 \(f(x)\) 的導函數，且 \(f\left(\dfrac e2\right)=1\)，\(xf'(x)\ln(2x)>f(x)\quad \left(x>\dfrac12\right)\)，求不等式 \(f\left(\dfrac{e^x}{2}\right)<x\) 的解集。

令 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{\ln(2x)}\)，\(g'(x)=\dfrac{f'(x)\ln(2x)-\frac{f(x)}{x}}{\ln^2(2x)}=\dfrac{xf'(x)\ln(2x)-f(x)}{x\ln^2(2x)}>0\)，所以 \(g(x)\) 單調遞增。

\(g\left(\dfrac e2\right)=\dfrac{f\left(\frac e2\right)}{\ln e}=1\)，\(f\left(\dfrac{e^x}{2}\right)<x\)，即 \(g\left(\dfrac{e^x}{2}\right)=\dfrac{f\left(\frac {e^x}2\right)}{\ln{e^x}}<1=g\left(\dfrac e2\right)\)，即 \(\dfrac{e^x}{2}\in \left(\dfrac12,\dfrac{e}{2}\right)\)，\(x\in (0,1)\)。

\(3.\) 已知函數 \(f(x)=x\ln x\) 的圖象與直線 \(y=m\) 交于不同的兩點 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，求證：\(x_1x_2<\dfrac{1}{e^2}\)。

\(f'(x)=1+\ln x\)，所以 \(f(x)\) 在 \(\left(0,\dfrac1e\right]\) 上單調遞減，\(\left[\dfrac1e,+\infty\right)\) 上單調遞增，所以 \(0<x_1<\dfrac1e<x_2\)。

即證 \(x_2<\dfrac{1}{e^2x_1}\)，即 \(f(x_1)=f(x_2)<f\left(\dfrac{1}{e^2x_1}\right)\)，令 \(t=x_1\)，即證 \(\forall t\in\left(0,\dfrac1e\right),f(t)<f\left(\dfrac{1}{e^2t}\right)\)。

令 \(g(t)=f(t)-f\left(\dfrac{1}{e^2t}\right)\)，\(g'(t)=1+\ln t+\dfrac{1}{e^2t^2}\left[1+\ln\left(\dfrac{1}{e^2t}\right)\right]=(1+\ln t)\left(1-\dfrac{1}{e^2t^2}\right)>0\)，\(g(t)<g\left(\dfrac1e\right)=0\)。

原命題得證。

\(4.\) 已知函數 \(f(x)=\dfrac23 x^3-mx^2+m^2x\quad (m\in \mathbb{R})\) 的導函數為 \(f'(x)\)。

I. 若函數 \(g(x)=f(x)-f'(x)\) 存在極值，求 \(m\) 的取值范圍。

II. 設函數 \(h(x)=f'(e^x)+f'(\ln x)\)（其中 \(e\) 為自然對數的底數），對任意 \(m\in\mathbb{R}\)，若關于 \(x\) 的不等式 \(h(x)\ge m^2+k^2\) 在 \((0,+\infty)\) 上恒成立，求正整數 \(k\) 的取值集合。

I.

\(f'(x)=2x^2-2mx+m^2\)，\(g(x)=\dfrac23 x^3-(m+2)x^2+(m^2+2m)x-m^2\)，\(g'(x)=2x^2-2(m+2)x+m^2+2m\)，\(g(x)\) 存在極值即 \(g'(x)\) 存在變號零點，即 \(\Delta = -4(m+2)(m-2)>0\)，\(m\in(-2,2)\)。

II.

\(m=\ln x+e^x\) 時，右式取到最小值。

即 \(\forall x>0\)，\(k^2\le{(e^x-\ln x)}^2\)，令 \(\varphi(x)=e^x-\ln x\)，\(\varphi'(x)=e^x-\dfrac{1}{x}\) 為增函數，存在唯一 \(x_0>0\)，滿足 \(\varphi'(x_0)=e^{x_0}-\dfrac{1}{x_0}=0\)，\(\varphi(x)\) 在 \((0,x_0]\) 上單調遞減，\([x_0,+\infty)\) 上單調遞增，在 \(x=x_0\) 處取到最小值。

\(\varphi'(1)=e-1>0\)，\(\varphi'\left(\dfrac12\right)=\sqrt{e}-2<0\)，所以 \(x_0\in\left(\dfrac12,1\right)\)。

因為 \(\varphi'(x_0)=0\)，所以 \(e^{x_0}=\dfrac{1}{x_0}\)，\(x_0=-\ln x_0\)，\(\varphi(x_0)=e^{x_0}-\ln x_0=x_0+\dfrac{1}{x_0}\in\left(2,\dfrac52\right)\)。

\(k\in\mathbb{N}_{+}\)，所以 \(k\in\{1,2\}\)。