Fido_Puppy の小窩

摘要： 1. 拉格朗日乘數法 梯度：\(\nabla f(\vec{x})={\left[\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}\right]}^T\)，是一個向量，分量為 \(f(\vec{x})\) 閱讀全文

摘要： 已知函數 \(f(x)=a\ln x+\dfrac{e^{2x}}{e^2x^a}-2x+1\)（\(a>0\)）有唯一零點，求 \(a\) 的值。 定義域 \(x>0\)。 \(f(x)=0\)，即 \(a\ln x+\dfrac{e^{2x}}{e^2x^a}-2x+1=0\)，\(e^{2x- 閱讀全文

摘要： 設 \(x_1,x_2\) 是方程 \(x-\ln x=a\) 的兩個不同的根，求證：\(2x_1+x_2>e\)。 令 \(f(x)=x-\ln x\)。 \(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}\)，\(f'(1)=0\)，\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f( 閱讀全文

摘要： 1. ALG 不等式 \(\forall a>0,b>0,a\ne b\)，有 \(\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}\)。 2. 證明 不失一般性地，令 \(a>b\)。 2.1. 證明左側不等式成立 要證 \(\sqrt{ab}<\ 閱讀全文

摘要： 給定數列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，\(b_1, b_2, \ldots, b_n\)，設 \(\displaystyle A_i=\sum_{j=1}^i a_j\)，有 \[\sum_{i=1}^n a_ib_i=A_nb_n+\sum_{i=1}^{n-1}A_i(b 閱讀全文

摘要： 用來解決斜率和積問題。 例 1 已知橢圓的中心為 \(O\)，長軸、短軸分別為 \(2a\)，\(2b\)（\(a>b>0\)），\(P\)，\(Q\) 分別在橢圓上，且 \(OP\perp OQ\)，求證 \(\dfrac{1}{{|OP|}^2}+\dfrac{1}{{|OQ|}^2}\) 為定 閱讀全文

摘要： 高中階段，對于有衛星的天體，可認為衛星繞中心天體做勻速圓周運動。 設軌道半徑 \(r\)，天體半徑 \(R\)，天體質量 \(M\)，衛星質量 \(m\)，線速度 \(v\)，角速度 \(\omega\)，周期 \(T\)。 由于向心力等于萬有引力，\(\dfrac{mv^2}{r}=\dfrac{ 閱讀全文

摘要： 在一段勻速圓周運動中，設線速度為 \(v\)，角速度為 \(\omega\)，半徑為 \(r\)，轉過的角度為 \(\theta\)。 \(t=\dfrac{\theta}{\omega}=\dfrac{\theta r}{v}\)。 根據余弦定理，\(\dfrac{2v^2-a^2}{2v^2}= 閱讀全文

摘要： \(1.\) 已知 \(a>0\)，\(b>0\)，則 \(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\) 的最小值為（\(\color{red}{2\sqrt2}\)）。 \(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\ge 2\dfrac1b+b\ge2\sqrt 2\)，當 \ 閱讀全文

摘要： 已知 \(O\) 為坐標原點，\(\odot M:x^2+{(y-1)}^2=1\)，\(\odot N:x^2+{(y+3)}^2=9\)，\(A\)，\(B\) 分別為 \(\odot M\) 和 \(\odot N\) 上的動點，求 \(\triangle AOB\) 面積的最大值。 法 \( 閱讀全文