小作業 11
給定 \(a,b>0\)，求 \(\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}\) 的最小值。
\[\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2}
\]
\[=1-\dfrac{ab}{a^2+3ab+2b^2}=1-\dfrac{1}{\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}+3}\le 1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}+3}=2\sqrt2-2
\]
當且僅當 \(a=\sqrt{2}b\) 時取等。
浙公網安備 33010602011771號