例 \(1\)：已知函數 \(f(x)=ae^x\ln x\)（\(a\ne 0\)），若 \(\forall x\in (0,1)\)，\(f(x)<x^2+x\ln a\)，求 \(a\) 的取值范圍。

\(\because x\in(0,1)\)，所以 \(\dfrac{\ln x}{x}<0\)，\(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) 在 \((0,1)\) 上單調遞增，當 \(ae^x\ge 1\) 時，\(\dfrac{\ln(ae^x)}{ae^x}\ge 0\)，所以上述條件等價于 \(x<ae^x\)。

例 \(2\)：已知 \(f(x)=e^x-a\ln x\)，若對任意 \(x\in (0,+\infty)\)，不等式 \(f(x)>a\ln a\) 恒成立，求正實數 \(a\) 的取值范圍。

例 \(3\)：設實數 \(\lambda>0\)，若對任意的 \(x\in(0,+\infty)\)，不等式 \(e^{\lambda x}-\dfrac{\ln x}{\lambda}\ge 0\) 恒成立，求 \(\lambda\) 的取值范圍。

同例 \(1\) 的分析，可得 \(\lambda x\ge \ln x\)。

例 \(4\)：已知 \(e^x-1\ge \dfrac{\ln x+a}{x}\) 恒成立，求實數 \(a\) 的最大值。

例 \(5\)：設實數 \(m>0\)，若對任意的 \(x\ge e\)，若不等式 \(x^2\ln x-me^{\frac{m}{x}}\ge 0\) 恒成立，求 \(m\) 的最大值。

例 \(6\)：對任意的 \(x\in(0,+\infty)\)，不等式 \(2x^3\ln x-me^{\frac{m}{x}}\ge 0\) 恒成立，求實數 \(m\) 的最大值。

題目疑似是錯的？這里寫一下同構的步驟。

例 \(7\)：已知函數 \(f(x)=m\cdot \ln(x+1)-3x-3\)，若不等式 \(f(x)>mx-3e^x\) 在 \(x\in(0,+\infty)\) 上恒成立，求實數 \(m\) 的取值范圍。

令 \(f(x)=m\ln x-3x\)，\(f'(x)=\dfrac{m}{x}-3\)，要求 \(f'(1)\le 0\)，所以 \(m\le 3\)，當 \(m\le 3\) 時，在 \((1,+\infty)\) 上，\(f(x)\) 單調遞減，\(x+1<e^x\)，所以原條件恒成立。

綜上所述，\(m\le 3\)。

例 \(8\)：對 \(\forall x>0\)，不等式 \(2ae^{2x}-\ln x+\ln a\ge 0\) 恒成立，求實數 \(a\) 的最小值。

同例 \(1\) 的分析，可得 \(\displaystyle 2x\ge \ln\left(\frac{x}{a}\right)\)。

例 \(9\)：若 \(x\in(0,+\infty)\)，\(\dfrac{e^{x-1}}{x}\ge x-\ln x+a\) 恒成立，求 \(a\) 的最大值。

當 \(x=1\) 時，\(a\le 0\)，當 \(a=0\) 時，\(e^{x-\ln x-1}\ge x-\ln x\) 恒成立，所以 \(a\le 0\)。

例 \(10\)：已知關于 \(x\) 的不等式 \(\dfrac{e^x}{x^3}-x-a\ln x\ge 1\) 對于任意的 \(x\in(1,+\infty)\) 恒成立，求實數 \(a\) 的取值范圍。

當 \(x-3\ln x=0\) 時，\(x+a\ln x\le 0\)，\(a\le -3\)，當 \(a=-3\) 時，\(e^{x-3\ln x}\ge x-3\ln x+1\)，所以 \(a\le -3\)。

例 \(11\)：已知不等式 \(x+a\ln x+\dfrac{1}{e^x}\ge x^a\)，對 \(x\in(1,+\infty)\) 恒成立，求實數 \(a\) 的最小值。

\(a=0\) 時滿足上式，所以只考慮 \(a<0\) 的情況。

所以 \(a\) 的最小值為 \(-e\)。

例 \(12\)：對任意的 \(x\in(0,+\infty)\)，恒有 \(a(e^{ax}+1)\ge 2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\cdot \ln x\)，求實數 \(a\) 的最小值。

當 \(x\to+\infty\) 時，可得 \(a>0\)。

例 \(13\)：已知 \(x_0\) 是方程 \(2x^2e^{2x}+\ln x=0\) 的實根，則關于實數 \(x_0\) 的判斷正確的是（\(\color{red}{C}\)）。

\(A.x_0\ge\ln 2\qquad B.x_0<\dfrac{1}{e}\qquad C.2x_0+\ln x_0=0\qquad D.2e^{x_0}+\ln x_0=0\)

同例 \(1\) 的分析，可得 \(2x=\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\)，即 \(2x+\ln x=0\)，所以 \(C\) 正確，\(D\) 錯誤。

設 \(f(x)=2x+\ln x\)，\(f'(x)=2+\dfrac{2}{x}>0\)，所以 \(f(x)\) 為增函數。

\(f(\ln 2)=2\ln 2+\ln\ln 2>0\)，所以 \(x_0<\ln 2\)，\(A\) 錯誤。

\(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{2}{e}-1<0\)，所以 \(x_0>\dfrac{1}{e}\)，\(B\) 錯誤。

例 \(14\)：已知函數 \(f(x)=x-\ln(x+1)\)，\(g(x)=e^x-x-1\)，若 \(g(x)\ge kf(x)\) 對 \(\forall x\in[0,+\infty)\) 恒成立，求實數 \(k\) 的取值范圍。

令 \(h(x)=e^x-kx\)，\(h'(x)=e^x-k\)，則 \(h'(0)\ge 0\)，\(k\le 1\)；當 \(k\le 1\) 的時候，\(h'(x)\ge 0\)，\(h(x)\) 單調遞增，因為 \(x\ge \ln(x+1)\)，所以 \(h(x)\ge h(\ln(x+1))\)。

綜上所述，\(k\le 1\)。

例 \(15\)：已知函數 \(f(x)=x\cdot e^{x+1}\)，\(g(x)=k\cdot\ln x+k(x+1)\)。設 \(h(x)=f(x)-g(x)\)，其中 \(k>0\)，若 \(h(x)\ge 0\) 恒成立，求 \(k\) 的取值范圍。

例 \(16\)：已知函數 \(f(x)=x\ln x\)，\(f'(x)\) 為 \(f(x)\) 的導函數。證明：\(f(x)<2e^{x-2}\)。