CyrusLi

摘要： 數(shù)列收斂于a的充要條件是該數(shù)列的兩個互補子列（通常取奇數(shù)項子列和偶數(shù)項子列）都收斂于同一個極限a. 該定理被稱為拉鏈定理，下面給出相應的證明. [草稿如下] 閱讀全文

摘要： 子數(shù)列一般項的下標形如階梯，我們不妨稱其為數(shù)列下標的階梯表示法。但這種表示法給出的一般項委實不容易理解，故本文基于復合函數(shù)給出一種更容易的理解方式?；诖?，更高維的子數(shù)列一般項也會變得很容易理解。 閱讀全文

摘要： 收斂數(shù)列的任意子數(shù)列必收斂，且極限與原數(shù)列的極限一致。反之，若一個數(shù)列存在發(fā)散的子數(shù)列，或存在兩個極限不同的子數(shù)列，則該數(shù)列必發(fā)散。下面給出收斂數(shù)列與其子數(shù)列之間的關系定理的證明。 注意：在上述證明中，用到了結(jié)論原數(shù)列下標與子數(shù)列下標的不等關系，相應的證明點這里。 閱讀全文

摘要： 子數(shù)列是從原數(shù)列中按原順序任意抽取無窮多項組成的新數(shù)列。下面給出原數(shù)列下標與子數(shù)列下標不等關系的證明。 閱讀全文

摘要： 收斂數(shù)列的迫斂性（又稱夾逼準則）是數(shù)列極限的核心性質(zhì)。其可理解為：若三個數(shù)列滿足“兩邊夾”關系且兩邊數(shù)列收斂到同一值，中間數(shù)列必收斂且極限相同。下面給出相應的證明。 閱讀全文

摘要： 取整函數(shù)[x]的定義是[x]≤x<[x]+1. 下面運用此定義，求解一道特殊的一元二次方程：x^2-2[x]+0.9=0. 注意在求解過程中，建立不等式關系得到x的取值范圍，是求解成功的關鍵. 閱讀全文

摘要： 收斂數(shù)列的保不等式性描述了數(shù)列項的不等式關系可"傳遞"至其極限，但請注意不等式的"非嚴格性"。下面給出相應的證明。 閱讀全文

摘要： 收斂數(shù)列保號性的推論是基于保號性定理（極限非零則后期項同號） 衍生的重要結(jié)論。下面給出相應的證明。 閱讀全文

摘要： 收斂數(shù)列保號性是描述收斂數(shù)列的極限符號與數(shù)列"后期項"符號關系的核心性質(zhì)，即極限的非零符號能保證數(shù)列從某一項開始的所有項與極限同號。下面給出相應的證明。 閱讀全文

摘要： 如果數(shù)列收斂，則數(shù)列必有界. 反之則不然，例如{(-1)^n}. 下面給出收斂數(shù)列有界性的證明. 閱讀全文