摘要：
數列收斂于a的充要條件是該數列的兩個互補子列（通常取奇數項子列和偶數項子列）都收斂于同一個極限a. 該定理被稱為拉鏈定理，下面給出相應的證明. [草稿如下] 閱讀全文
posted @ 2025-11-05 20:06
CyrusLi
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摘要：
子數列一般項的下標形如階梯，我們不妨稱其為數列下標的階梯表示法。但這種表示法給出的一般項委實不容易理解，故本文基于復合函數給出一種更容易的理解方式。基于此，更高維的子數列一般項也會變得很容易理解。 閱讀全文
posted @ 2025-11-02 19:14
CyrusLi
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摘要：
收斂數列的任意子數列必收斂，且極限與原數列的極限一致。反之，若一個數列存在發散的子數列，或存在兩個極限不同的子數列，則該數列必發散。下面給出收斂數列與其子數列之間的關系定理的證明。 注意：在上述證明中，用到了結論原數列下標與子數列下標的不等關系，相應的證明點這里。 閱讀全文
posted @ 2025-11-01 23:54
CyrusLi
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摘要：
子數列是從原數列中按原順序任意抽取無窮多項組成的新數列。下面給出原數列下標與子數列下標不等關系的證明。 閱讀全文
posted @ 2025-10-31 19:46
CyrusLi
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摘要：
收斂數列的迫斂性（又稱夾逼準則）是數列極限的核心性質。其可理解為：若三個數列滿足“兩邊夾”關系且兩邊數列收斂到同一值，中間數列必收斂且極限相同。下面給出相應的證明。 閱讀全文
posted @ 2025-10-30 22:08
CyrusLi
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摘要：
取整函數[x]的定義是[x]≤x<[x]+1. 下面運用此定義，求解一道特殊的一元二次方程：x^2-2[x]+0.9=0. 注意在求解過程中，建立不等式關系得到x的取值范圍，是求解成功的關鍵. 閱讀全文
posted @ 2025-10-24 22:18
CyrusLi
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摘要：
收斂數列的保不等式性描述了數列項的不等式關系可"傳遞"至其極限，但請注意不等式的"非嚴格性"。下面給出相應的證明。 閱讀全文
posted @ 2025-10-19 22:20
CyrusLi
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摘要：
收斂數列保號性的推論是基于保號性定理（極限非零則后期項同號） 衍生的重要結論。下面給出相應的證明。 閱讀全文
posted @ 2025-10-19 21:46
CyrusLi
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摘要：
收斂數列保號性是描述收斂數列的極限符號與數列"后期項"符號關系的核心性質，即極限的非零符號能保證數列從某一項開始的所有項與極限同號。下面給出相應的證明。 閱讀全文
posted @ 2025-10-19 21:30
CyrusLi
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摘要：
如果數列收斂，則數列必有界. 反之則不然，例如{(-1)^n}. 下面給出收斂數列有界性的證明. 閱讀全文
posted @ 2025-10-17 22:21
CyrusLi
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