收斂數列的任意子數列必收斂，且極限與原數列的極限一致。反之，若一個數列存在發散的子數列，或存在兩個極限不同的子數列，則該數列必發散。下面給出收斂數列與其子數列之間的關系定理的證明。

注意：在上述證明中，用到了結論原數列下標與子數列下標的不等關系，相應的證明點這里。