耀禮士多德

 假設(shè){4}的原點，是最后的端點，那么先讓機器人復(fù)位，回到最初始的位姿：

 回顧：

http://www.rzrgm.cn/pylblog/p/18085153

 

 只需要知道{ω,q, θ}，就可以獲得一個轉(zhuǎn)換：在b處的位姿，轉(zhuǎn)換到c處的位姿，而且位姿都是相對于統(tǒng)一固定坐標系s的

那么，可以：

第一步：

1.  容易通過機械設(shè)計結(jié)構(gòu)，得到 {4} 的初始位置，T₀₄₍₀₎

2.  假設(shè)只有 關(guān)節(jié){3} 發(fā)生旋轉(zhuǎn)，那么，容易得到：

 那么，馬上可以得到： 

 第二步：

 那么，也容易得到：

  那么，馬上可以得到：

那么，經(jīng)過類似的變化，就可以的到最終的結(jié)果：

 其結(jié)果，等價于各個關(guān)節(jié)的位姿T相連：

  

 區(qū)別：

1. 使用旋量計算，最后的T是相對于世界系的，從后往前；對于三維的計算，不需要考慮每個關(guān)節(jié)的坐標系相對于前一個關(guān)節(jié)是如何的。

2. 而后者是局部的位姿，從前往后；

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使用運動旋量的方式計算位置，稱為PoE（Product of Exponential）指數(shù)積公式

其關(guān)鍵是：將每個關(guān)節(jié)的螺旋運動施加給后面的干

首先，需要準確知道，末端關(guān)節(jié)的初始位姿M（是相對于{0}系的，不是相對于上一個的）

（M最簡單的獲取方式，就是將各個關(guān)節(jié)“歸零”，然后根據(jù)機械圖紙直接推得）

末端的前一個關(guān)節(jié)，假設(shè)為第N個關(guān)節(jié)，那么，如果有如下變量：

1.  θ_n：第n關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)量。（如果第n關(guān)機是移動關(guān)節(jié)，那么 θ_n是移動的距離）

2. S_n = [ ω_n, v_n] ，vn = -[ω_n] q_n ， q_n按照幾何的定義，可以是沿轉(zhuǎn)軸上的的任意一點 。

（所以q并不重要，它只是輔助用的，但是有的書，是要從原點出發(fā)，與旋轉(zhuǎn)軸正交的點）

（如果第n關(guān)機是移動關(guān)節(jié)，ω_n = 0， 而vn是沿關(guān)節(jié)正向運動的單位向量）

3. 以上v_n，ω_n都是相對于{0}系下的向量

運動旋量

（注意，v是總的線速度，q是原點出發(fā)，位于旋轉(zhuǎn)軸上的點，與原點連線垂直于旋轉(zhuǎn)軸）

（ω^Tv實際上，就是總速度在旋轉(zhuǎn)方向上的分量）

那么，第N關(guān)節(jié)的運動，使得末端關(guān)節(jié)的位姿從M變換為位姿T（相對于{0}的位姿）：

（注意：用于姿態(tài)正算時，不是用角速度，而是使用角度，只取旋量作為使用）

 （從這個圖可以看出，不在乎{0}系是否在底座的關(guān)節(jié)上，反正ω, v都是相對于{0}系的）

 各個S，都是可以在歸零位的時候就確定下來的，圖紙上就可以直接得到

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 分析如下關(guān)節(jié)：

 

末端關(guān)節(jié)的位姿：

1. {0}系和{1}系，在開始時刻，是重合的

2. 末端關(guān)節(jié)和{3}系，在開始時刻，也是重合的

那么，末端關(guān)節(jié)位姿，有：

 x 軸在{0}系的 [0,0,-1]方向。

 y 軸在{0}系的 [0,1,0]方向。

 z 軸在{0}系的 [1,0,0]方向。

原點在[L₁,0,-L₂]處

 各個關(guān)節(jié)的螺旋軸：

i = 3：旋轉(zhuǎn)軸ω，在{0}系下，ω = [1,0,0] ;

v = - [ω] q，q只需要沿ω軸上的任意一點，所以可以選擇為，在{0}系下，q = [0,0,-L₂]

所以，v = [0,L₂,0]

i = 2：旋轉(zhuǎn)軸ω，在{0}系下，ω = [0,-1,0] ; 在{0}系下，q = [L₁,0,0]，所以，v = [0,0,-L₁]

i = 1：旋轉(zhuǎn)軸ω，在{0}系下，ω = [0,0,1] ;  在{0}系下，q = [0,0,0]，所以，v = [0,0,0]

（這種定義方式，確實要比D-H表方式更加簡單）

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 注意到

i = 3時，是移動關(guān)節(jié)，所以：

ω = [0,0,0]

v = [0,1,0]，是運動方向向量

θ為移動的距離。

基于此，嘗試代入：

 由此可見，這種方式“湊”的轉(zhuǎn)換矩陣，就是平移用的

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通用機器人描述格式URDF（Universal Robot Description Format ）：

1.  關(guān)節(jié)（join）。包含 關(guān)節(jié)變量為0是，子桿相對于父桿的位姿（局部坐標系下的位姿），子桿原點在關(guān)節(jié)。

2. 桿（link）。包括：

　　（1）桿的質(zhì)量。

　　（2）桿的質(zhì)心，相對于關(guān)節(jié)坐標系的位姿（局部坐標系下的位姿）