耀禮士多德

由旋轉引起的平面角速度

 角速度：

 弧長：

 線速度：

（因為求速度，所以ΔS是極小值，）

 由旋轉引起的空間角速度

 已知角度度向量：

u是單位向量

 顯然，又有：

 顯然，又有半徑r與P向量的關系：

 又根據叉積的定義，有：

 因此：

 結論：空間點的線速度向量，是角速度向量與該點向量叉積。

而速度向量的值，是 ||v|| = r * || ω ||

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旋轉矩陣&指數矩陣

 一定要有一個直覺， f ' (x) =     A   f (x) ， 那么一定和e有關。

 那么，有沒有可能：

R(t) 正是t時刻的旋轉矩陣， 將一個向量p(0)轉為p(t)

 因為：

 因此得證

又 ω  是角速度向量，那么：

 對其進行積分，區(qū)間是[t,t+Δt]，就可以得到：

從而，證明了：

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 旋轉矩陣的導數

 已知繞單位向量u旋轉θ，與旋轉矩陣R，有如下關系：

μx 是單位向量μ的對應的反對稱矩陣。

所以，總有一個旋轉向量，與R有函數關系

因為R是隨著時間變化而變化，令：

 由旋轉矩陣的性質，可知：

 兩邊同時求導：

 令：

 那么，上面公式為：

 因此：S是反對稱矩陣

那么：

 結論：旋轉矩陣導數 =  反對稱矩陣S * 旋轉矩陣本身

已知：

 對p⁰求導：

 對p⁰求導，實質就是求p⁰處的速度：

因此，有：

所以，S就是角速度向量ω的反對稱矩陣。

結論：

 結論：R的導數 =  角速度向量的反對稱矩陣  * R本身

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上旋轉矩陣的導數2

根據上面的結論，R‘ = ω X R

R =  [ x , y ,z ] 三角列向量，那么

R‘   就是三個單位正交向量的線速度

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向量 ω⁰_0,2 表示，以0系為基準（左上角），2系相對于0系的角速度向量。

 其中：

 代入上式：

 又，反對稱矩陣有如下性質：

 因此，上式變?yōu)椋?/p>

 代入：

 由此，可以得到兩個結論：

1.  角速度向量可以疊加，但是要以統(tǒng)一的坐標系作為參考。

2. 進行推廣，有如下鏈式法則，可以看做 ：

p點相對于i - 1 系的角速度  =  i系原點相對于 i - 1 系的角速度  + p 點相對于 i系的角速度

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以此圖為參考，已知：

p0 為P點在0系下的向量

p1 為P點在1系下的向量

o 為1系原點在0系下的向量

那么，他們有如下關系：

假設P點，是與1系固連的，那么P點在0系下的速度 =  1系旋轉產生的速度 + 1系移動產生的速度

 r 就是 P點在0系下的向量

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 機械臂的雅可比矩陣

機械臂旋轉產生的總角速度 ，根據：

可知，末端關節(jié)，由旋轉引起的角速度向量為：

 （機械臂總是繞Z軸進行旋轉）

令：

如果在第n個關機不是轉動關機，那么角速度大小為0

總線速度

如果第n個關節(jié)，是想對于n-1個關節(jié)，沿著z_n-1方向移動的速度為d^‘_n , 那么n關節(jié)處，產生的速度為：

由沿著z軸移動產生的總速度：

如果第n個關節(jié)，是相對于于n-1個關節(jié)，沿著z_n-1方向旋轉，其角速度為θ_n，那么n關節(jié)處，產生的速度為：

 

 

 那么，由n - 1關節(jié)轉動，對n關節(jié)產生的速度為：

 其中：

由運動正算得到的：

 由沿著z軸旋轉產生的總速度：

 總的線速度：

 所以，寫成矩陣形式：

特別注意：通常一個運動就是一個關節(jié)，同一個關機，d和θ其中一個要為0。

聯(lián)立起來：

 雅可比矩陣就是 6 * 2n那個陣。

 

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運動旋量

已知

（這里假設b和s原點是重合的，為了方便顯示，將b拉開）

已知R_sb的各列，ω_s 都是s系下的向量，ω_s 是旋轉向量。

那么，有：

ω_b 是旋轉向量，以b系作為局部坐標系

 使用反對稱矩陣運算法則：

 （ω_s 和 R_sb ， p，都是以s為參考的向量）

ω_s  和 R_sb 的等效旋轉向量不是同方向的，R_sb 是旋轉后的結果，而ω_s  應該是這個結果后再次運動。

對R_sb求導，和之前的含義不一樣，之前是旋轉軸就是P向量。

假設運動不僅僅又旋轉引起，那么：

ω_b，就是ω_s在b系下的向量表示。

p導數，本來是b原點的速度，在s系下的表示，而p_b導數，就是b原點的速度，在b系下的表示。

物體運動旋量

 描述了動坐標系的角速度向量，以及其線速度向量，在動坐標系下的表達。

再推如下公式：

 

如果

 p_s導數，是指s點的速度，在s系下的表達，那么

運動旋量所指的運動，應該如圖：

1. s系和b系，作為一個整體，沿著向量 ω_s方向運動，還繞ω_s 進行旋轉，速度為p_s向量求導，因此：

s系原點的速度，s系原點的速度，由于不受旋轉的影響，為：

2. 而b系，b點總運動速度，在s系下的表達，為：

 （注意到，ω_b  = R_sb^T ω_s 依然成立，因為這只是向量坐標系的轉換，ω_s 不是必須從b系原點出發(fā)）

空間運動旋量

 

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物體運動旋量

（注意到，ω_b 并不是已b系原點為旋轉點的，從推導過程來看，ω_b = R_sb ω_s , 旋轉點都是s原點，只是在b系下的表達而已）

空間運動旋量

運動旋量，描述了兩個東西：

1. 旋轉向量在該系下的表達。 

2. 系原點的速度，在該系下的表達。

疑問：

 R_sb  的推導過程中，s點與b點重合才有 R_sb 的導數（b系基向量的速度在s系下的表達），但是當s和b的原點不重合，那么R_sb的導數，應該如何算？

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6維的運動旋量，能不能寫成 ：

V(6維)  =   “6維向量  * 一個數”

研究b的運動，在s系下的運動旋量

 為了達到   “6維向量  * 一個數”   這個目的，

s是移動的單位向量

令：

h被稱為“節(jié)距”

 那么，b的運動，在s系下的運動旋量，表示為：

當θ導數不為0

v_s為沿旋轉軸方向移動的速度。

 當θ導數為0時，要寫成“6維向量  * 一個數” , 那么：

 （此時q是什么已經不重要，只有沿s方向運動）

運動旋量正則化后，剔除了速度，留下了方向

 說明：

1. ||ω|| = 1或 || v || = 1

2. ||ω|| = 1 時，θ為角度求導，即角速度；

    ||v|| = 1時，θ為位移求導，即線速度 

 

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*運動旋量，就是要找到一個軸，把 “旋轉 + 平移的運動的復合運動”，描述成繞這個軸旋轉的一個運動。

*如果只有平移，那么這個旋轉半徑是無限大的。

為了描述這個運動，需要：

1. 表示這個軸的單位向量 ω

2. 知道了 ω，也要知道半徑方向向量r 

3. 還有旋轉速度θ導數

對于固定坐標系中的兩個點p₀，p，如果向量  = p - p₀，繞p0為原點進行旋轉，可以：

 將R替換成羅德里格斯公式：

 令：

即：由旋轉產生的位移向量

令：

（ ω是單位向量，v就是單位角速度下產生的速度）

 

有一個這樣的運動：

1. 只考慮旋轉， 不考慮沿旋轉軸方向移動。

2. 旋轉向量是單位向量 。

3. 那么對于運動旋量S，有：

v是速度的方向，但不是單位速度，ω是單位向量

令：

 注意：這個和位姿矩陣T不是同一回事，這里是描述了一個旋轉運動的過程

 R則是將坐標系原點搬到p₀點，然后旋轉后的基向量

 

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忘記前面的公式，記住這個圖：

以下說那么多，都是非原點旋轉的坐標變換矩陣T

 

羅德里格斯公式：

 代入：

 現(xiàn)在，有一個轉換矩陣T，想要：

 令：

 將 p' = Tp 展開，R用羅德里格斯公式代替：

 假設：

 代入試試：

整來整去，其實就是想將：

(思想就是，將p點，變?yōu)橐詐₀為原點的局部坐標（或者原點挪到s原點，稱為s系下的向量），然后使用旋轉矩陣變換（由于使用旋轉矩陣R，所以必須是向量），然后再挪回去p₀點處)

 變?yōu)椋?/span>

 v其實就是描述了s隨著一起旋轉，s的原點的速度方向，要求速度，就 

 

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應用 

 兩個位姿，必然有以下關系：

那么，轉換矩陣T_scsb 除了轉換矩陣的作用，如何用幾何解析？

可以假設，p點經過旋轉之后，變成p'點。

（p點和p'點，實際就是x軸上的點而已）

 套用上面的公式

因此，T_scsb ，實際上就是R和G(θ)v組成的。

而R可以反向，根據羅德里格斯公式，推出旋轉向量ω、旋轉角度θ

https://blog.csdn.net/Sandy_WYM_/article/details/84309000

有了旋轉向量ω、旋轉角度θ后：

 第4列  = G(θ)v

 

自然，旋轉點q 也可以求出來

 至此，可以得出一個結論：

 使用q、ω、θ，可以將一個位姿，變化為另一個位姿，實現(xiàn)了：

“旋轉 + 平移的運動的復合運動”，描述成繞這個軸旋轉的一個運動 

 要是寫得漂亮一點，那就：

 這就是運動旋量，

思考：

1. 已知θ是角度，那旋量就可以用于求位姿

2. 如果θ是角速度，是不是可以很容易知道每個點的運動速度? 

3. 如果是純移動的運動，是不是通過計算T_scsb ，能否得到一個無限大的q?