數學后花園

摘要： 我們定義一個函數$f$的支集$${\rm supp}f=\overline{\{x:f(x)\neq0\}}$$ 數學分析中一個常見的例子，考慮如下函數$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^{-\frac{1}{x^2}}&x\neq0\\0&x=0\end{matrix}\r 閱讀全文

摘要： 復分析中最基本的結果當屬Cauchy積分公式了,即若$D$是由可求長簡單閉曲線$\gamma$圍成的區域,并且$f\in H(D)\cap C(\overline{D})$,則$\forall z\in D$有$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\ 閱讀全文

摘要： 設$E$是復平面$\mathbb C$中的任意點集,那么$\mathbb C$中的點可分為三類： 1)點$a\in\mathbb C$稱為$E$的內點,如果存在$r>0$使得$B(a,r)\subset E$,內點的全體稱為內部,用集合用$E^{\circ}$表示; 2)稱為$E$的外點,如果$B( 閱讀全文

摘要： 設$\Omega$是一個集合,那么群$G$到對稱群$S(\Omega)$的每個同態$\phi:G\to S(\Omega)$叫做群$G$在集合$\Omega$上的一個置換表示.特別的如果$\phi$是單的,那么稱$\phi$是忠實表示. 注意群$G$中任意元素$g$在$\phi$下的像$\phi(g 閱讀全文

摘要： 接著上一節，為了研究置換群的結構,我們來考慮對稱群$S_n$和交錯群$A_n$的的生成元系. 定理1 對稱群$S_n$可以由$(12),(13),\cdots,(1n)$生成，即$S_n=<(12),(13),\cdots,(1n)>$. 證明 首先$<(12),\cdots,(1n)>\subse 閱讀全文

摘要： 我們把集合$\sum$到自身的一個一一對應$\sum$叫做$S$上的一個置換,以$S(\sum)$表示$\sum$上的全體置換構成的集合,我們定義兩個置換$\sigma,\tau$的乘法運算為二者關于映射的復合運算$$\sigma\cdot\tau=\sigma\circ\tau\Leftright 閱讀全文

摘要： 同態基本定理 設$f:G\to H$為群同態,那么同態核${\mathrm {Ker}f}\triangleleft G$,且$G/\mathrm{Ker}f\simeq\mathrm{Im}f$.反過來如果$K\triangleleft G$,那么映射$\pi:G\to G/K,g\mapsto 閱讀全文

摘要： 設$H<G$,全體左陪集構成的集合$\overline{G}=\{gH:g\in G\}$,我們希望賦予$\overline{G}$群的結構,很自然的定義乘法為$$aH\cdot bH=abH$$容易驗證此運算下有幺元$H$,以及任意的$aH\in\overline{G}$有逆元$a^{-1}H$. 閱讀全文

摘要： 設$G$為群,$S$是$G$的子集,$G$中包含$S$上午最小子群叫做由$S$生成的子群,記作$<S>$,即$$<S>=\bigcap_{i}A_{i},S\subset A_{i}$$由于子群之交仍然是子群,這說明包含$S$的子群中確實有最小的.顯然若$a\in S$,必然有$a,a^{-1}\i 閱讀全文

摘要： 正規化子 設集合$M$是群$G$的子集(未必是群),定義$N_G(M)=\left\{g\in G:gMg^{-1}=M\right\}$,不難驗證$N_G(M)$是群$G$的子群,稱為$M$在群$G$中的正規化子. 中心化子 定義$C_G(M)=\left\{g\in G:ga=ag,\foral 閱讀全文