設$E$是復平面$\mathbb C$中的任意點集,那么$\mathbb C$中的點可分為三類：

1)點$a\in\mathbb C$稱為$E$的內點,如果存在$r>0$使得$B(a,r)\subset E$,內點的全體稱為內部,用集合用$E^{\circ}$表示;

2)稱為$E$的外點,如果$B(a,r)\subset E^c$,外點的全體稱為外部,由定義顯然$\left(E^c\right)^{\circ}$即為$E$的外部.;

3)稱為$E$的邊界點,如果$\forall r>0$都有$$B(a,r)\cap E\neq\varnothing,B(a,r)\cap E^c\neq\varnothing$$邊界點的全體用$\partial E$表示.

按照點集的性質顯然復平面$\mathbb C$可被分解成無交并$$\mathbb C=E^\circ\cup \left(E^c\right)^{\circ}\cup\partial E$$

如果$E=E^{\circ}$,那么稱$E$為開集;如果$E^c$為開集,那么稱$E$為閉集.

點$a$稱為$E$的極限點,如果對任意的$r>0$,去心鄰域$B(a,r)\setminus\{a\}$總包含$E$中的點 ,$E$的極限點的全體稱為$E$的導集,記作$E'$.而$E$中那些不是極限點的點稱為孤立點,而$E$和$E'$并稱為$E$的閉包,記作$\overline{E}=E\cup E'$.

如下結論應當是顯然的:

1.$E^{\circ}$是開集,$\partial E,\overline{E}$都是閉集;

2.$E$是閉集的充要條件是$E=\overline{E}\Leftrightarrow E'\subset E$.

對任意的點集$E$,我們定義$E$的直徑$$\mathrm{diam}E=\mathrm{sup}\left\{|z_1-z_2|:z_1,z_2\in E\right\}$$我們便可以將實數集的閉區間套定理推廣,即:

若有非空閉集序列$\{F_n\}$滿足:(1)$F_1\supset F_2\supset\cdots$;(2)$\mathrm{diam}F_n\to 0(n\to\infty)$,那么$\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$是一個單點集.

證明    任取$z_n\in F_n$,由條件對任意的$\varepsilon>0$,存在$N>0$使得$n>N$時恒有$\mathrm{diam}F_n<\varepsilon$,從而當$n,m>N$時由于$z_n,z_m\in F_N$,必有$$|z_n-z_m|<\mathrm{diam}F_N<\varepsilon$$這說明$\{z_n\}$是Cauchy列,從而必收斂,設$z_n\to z_0(n\to\infty)$,我們來說明$z_0\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$,注意點列$\{z_n\}\subset F_k,\forall k\in\mathbb N$,而每個$F_k$都是閉集,因此極限點$z_0\in F_k$,由$k$的任意性即得$z_0\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_k$.如若還有另外一點$a\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_k$,那么必然有$$|z_0-a|\leq\mathrm{diam}F_n\to0(n\to\infty)$$這說明$z_0=a$,命題成立.

設$E$是一個集合,集族$\mathscr{F}=\{G\}$是一個開集族,即$\mathscr F$中每個元素$G$都是開集.如果$E$中每個點都至少屬于$\mathscr F$中的一個開集,那么稱$\mathscr F$為$E$的一個開覆蓋.特別的如果對于$E$的每個開覆蓋$\mathscr{F}$,總能找到有限個開集$G_1,\cdots,G_n\in\mathscr F$使得這有限個便能覆蓋住$E$,即$$E\subset\bigcup_{i=1}^{n}G_i$$我們稱$E$為緊集. 

關于緊集,我們有:在$\mathbb C$中,$E$為緊集的充要條件是$E$是有界閉集;而在$\mathbb C_{\infty}$中,$E$是緊集的充要條件是$E$是閉集.

證明    首先如果$E$是$\mathbb C$中的有界閉集,那么按照實數集的有限覆蓋定理類似可證$E$是緊集.而若$E$是$\mathbb C_{\infty}$中的閉集,如果不包含$\infty$,注意$E^c$是開集,從而存在$r>0$使得$B(\infty,r)\subset E^c$,說明$E$中每個元素$z$都有$|z|\leq r$,從而$E$有界,那么和第一種情況沒有區別.如果$\infty\in E$,在$\mathscr F$中可以找到某個開集$G_0$覆蓋$\infty$,那么$E\setminus G_0$為有界閉集且被$\mathscr F$覆蓋,自然仍然可被有限覆蓋.

另一方面,如果$E$中的緊集,我們不只需說明他是$\mathbb C_{\infty}$中的閉集即可.因為如若$E$是閉集又不包含$\infty$,那么他必然是有界的.為了說明$E$是閉的,僅需說明$E^c$是開集即可,為此任取$a\in E^c$.對任意的$z\in E$,存在$r_z>0$使得$a\notin \overline{B(z,r_z)}$,當$z$取遍$E$中所有點時,這些開圓盤便構成了$E$的一個開覆蓋$$\mathscr F=\left\{B(z,r_z):z\in E\right\}$$由$E$的緊性,從而可在$\mathscr F$中取出有限個$B(a_i,r_i),i=1,2,\cdots,n$使得$E\subset\bigcup_{i=1}^{n}B(a_i,r_i)$且由構造過程可以看出$$a\in\left(\bigcup_{i=1}^{n}\overline{B(a_i,r_i)}\right)^c$$注意$\left(\bigcup_{i=1}^{n}\overline{B(a_i,r_i)}\right)^c$是開集,從而存在$r>0$使得$$B(a,r)\subset\left(\bigcup_{i=1}^{n}\overline{B(a_i,r_i)}\right)^c\subset\left(\bigcup_{i=1}^{n}B(a_i,r_i)\right)^c\subset E^c$$這說明$E^c$是開集,從而$E$是閉集.

 集合之間的距離:設$E,F$是任意兩個集合,那么定義他們之間的距離為$$d(E,F)=\mathrm{inf}\left\{|z_1-z_2|:z_1\in E,z_2\in F\right\}$$特別的如果$E$是單點集$\{a\}$,那么$$d(E,F)=d(a,F)=\mathrm{inf}\left\{|a-z|:z\in F\right\}$$可以看出如果$F$是閉集且$a\notin F$,那么$d(a,F)>0$,這是因為$a\in F^c$且$F^c$是開集,從而存在$r>0$使得$B(a,r)\subset F^c$,因此$d(a,F)\geq r>0$.類似的如若$E$是有限點集,$F$是閉集且$E\cap F=\varnothing$,同樣的有$d(E,F)>0$.但是$E$也是無窮閉集結論未必成立,反例是$E=\mathbb R$即為實軸,$F$是$y=e^x$的圖像,顯然二者都是無限閉集,但是$d(E,F)=0$.但是對于緊集,我們有:

設$E$是緊集,$F$是閉集且$E\cap F=\varnothing$,則$d(E,F)>0$.

證明    對任意的$a\in E$,按照前面的分析$$r_a:=d(a,F)>0$$考慮集族$\mathscr F:=\left\{B\left(a,\frac{1}{2}r_a\right):a\in E\right\}$,顯然構成了$E$的開覆蓋,而$E$是緊的,從而可從$\mathscr F$中選除有限個$B\left(a_i,\frac{1}{2}r_i\right),i=1,2,\cdots,n$使得$$E\subset\bigcup_{i=1}^{n}B\left(a_i,\frac{1}{2}r_i\right)$$這樣的對任意的$z_1\in E$,必然有某個圓盤$B\left(a,\frac{1}{2}r_a\right)\in\mathscr F$使得$z_1\in B\left(a,\frac{1}{2}r_a\right)$,從而對任意的$z_2\in F$有\begin{align*}|z_1-z_2|&\geq|a-z_2|-|a-z_1|\\&\geq r_a-\frac{1}{2}r_a=\frac{1}{2}r_a\\\Rightarrow d(E,F)&\geq\frac{1}{2}r_a>0\end{align*}

以上討論說明緊集保留了大部分有限集的性質!

 與實數集的Weierstrass聚點定理類似,我們有:擴充復平面$\mathbb C_{\infty}$中的任意無限點集$E$必然有有極限點.

證明    如若$E$無界,那么顯然$\infty$便是其極限點.而若$E$是有界集,如果沒有極限點,那么他是一個閉集,從而是一個緊集.并且對任意的$z\in E$,存在$r_z>0$使得$B(z,r_z)$中除了$z$不再有$z$中其他的點.當$z$取遍$E$中所有點時,集族$\mathscr F:=\{B(z,r_z):z\in E\}$便構成$E$的一個開覆蓋,從而可取出有限個覆蓋$E$.而每個開集中僅含有$E$中一個點,這說明$E$是有限集,矛盾!因此$E$一定有極限點.

 最后介紹一個重要的結論,設集合$E\subset\mathbb C$既是開集又是閉集,那么$E=\varnothing$或$E=\mathbb C$.

借助于后面連通性的知識這個結論是顯然的,這里給出一個不依賴$\mathbb C$的連通性的證明.不妨設$E$不包含$\infty$,否則考慮$E^c$即可,他也是一個既開又閉的集合.因此$E$必然是一個有界閉集也是開集.顯然這是不可能的,因為$E$必然有邊界點.