我們把集合$\sum$到自身的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)$\sum$叫做$S$上的一個(gè)置換,以$S(\sum)$表示$\sum$上的全體置換構(gòu)成的集合,我們定義兩個(gè)置換$\sigma,\tau$的乘法運(yùn)算為二者關(guān)于映射的復(fù)合運(yùn)算$$\sigma\cdot\tau=\sigma\circ\tau\Leftrightarrow (\sigma\circ)a=\sigma(\tau(a)),\forall a\in S$$顯然在此運(yùn)算下$S(\sum)$構(gòu)成一個(gè)群,幺元是恒等映射.這個(gè)群稱為集合$\sum$上的對(duì)稱群,他的子群均叫做集合$\sum$上的置換群.

我們不難看出兩個(gè)群$S(\sum),S(\sum')$的本質(zhì)區(qū)別就是集合$\sum,\sum'$的基數(shù)區(qū)別,如果基數(shù)一樣$|\sum|=|\sum'|=n$,那么兩個(gè)對(duì)稱群是同構(gòu),因此我們一般上把這個(gè)群記作$S_n$,稱作$n$元對(duì)稱群,而$S_n$的子群均叫做$n$元置換群.

對(duì)于$n$元集合上任意的置換$\sigma$,可以把他記作$$\sigma=\left(\begin{matrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{matrix}\right)$$由于$\sigma$是到自身的雙射,因此$\sigma(1),\cdots,\sigma(n)$就是$1,2,\cdots,n$的一個(gè)重排,從而$S_n$與$1,2,\cdots,n$的重排之間一一對(duì)應(yīng),從而$|S_n|=n!$.以如下置換為例$$\sigma=\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{matrix}\right)$$即$1\xrightarrow{\sigma}2\xrightarrow{\sigma}3\xrightarrow{\sigma}4\xrightarrow{\sigma}1$,所以也把$\sigma$記作$$\sigma=(1~2~3~4)$$類似的置換$\tau=\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{matrix}\right)$,我們可以將其寫成$\tau=(1~2)(3~4)$.由此可以引出輪換的概念:

一個(gè)置換$\sigma$如果有$i_1\xrightarrow{\sigma}i_2\xrightarrow{\sigma}\cdots\xrightarrow{\sigma}i_r\xrightarrow{\sigma}i_1$,那么我們把$\sigma$稱作是一個(gè)$r-$輪換,記作$\sigma=(i_1~i_2~\cdots~i_r)$,稱$r$是輪換$\sigma$的長度.當(dāng)然$\sigma$也可以寫成$(i_2~i_3~\cdots~i_r~i_1)$等等.特別的,$2-$輪換稱為對(duì)換,$1-$輪換也就是恒等映射,記作$(1)$.我們知道兩個(gè)置換$\sigma,\tau$一般來講未必是可交換的,即$\sigma\tau\neq\tau\sigma$,但是不難看出如果二者沒有公共元素,那么此時(shí)二者是可交換的,即$\sigma\tau=\tau\sigma$.據(jù)此我們有如下定理：

$S_n$中的每個(gè)置換總可以被分解成一些不相交的輪換的乘積,并且除了次序不同外,這種分解是唯一的.

這個(gè)結(jié)論比較顯然,但我們還是嚴(yán)格的寫一下他的證明.任取$\sigma\in S_n$,如果$\sigma=(1)$,那么結(jié)論是顯然的.不妨設(shè)$\sigma\neq(1)$,那么總可以找到某個(gè)$i_1$使得$\sigma$將其變動(dòng),設(shè)$\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,\cdots$,顯然總會(huì)在若干步以后第一次與前面元素重復(fù),設(shè)$\sigma(i_r)=i_j=\sigma(i_{j-1})$,其中$1<j<r$.而$\sigma$為雙射,從而$i_r=i_{j-1}\Rightarrow \sigma(i_{r-1})=i_{j-1}$,這與第一次相矛盾！這說明必然有$j=1$,即$\sigma(i_r)=i_1$,那么取$\sigma_1=(i_1~i_2~\cdots~i_r)$,這是一個(gè)$r-$輪換.接下來在剩余的$i_{r+1},i_{r+2},\cdots$中不斷重復(fù)上述操作,便可將$\sigma$分解成一些不相交輪換的乘積$$\sigma=\sigma_1\cdots\sigma_s$$

再證分解的唯一性,如若$\sigma$還能分解成另外的不相交輪換的乘積$\sigma=\tau_1\cdots\tau_t$,若$\sigma$變動(dòng)元素$a$,即$\sigma(a)\neq a$,那么在上面分解中必然存在(不妨設(shè))$\sigma_1(a)\neq a$以及$\tau_k(a)\neq a$,注意到$\forall m\in\mathbb N$有$$\sigma_1^m(a)=\sigma^m(a)=\tau_k^m(a)$$這說明$$\sigma_1=(a~~~\sigma(a)~~~\sigma^2(a)~~~\cdots\sigma^p(a))=\tau_k$$不斷重復(fù)上述操作即可得到$s=t$,并且適當(dāng)改變$t_1,\cdots,t_t$的順序后有$\sigma_i=\tau_i,\forall 1\leq i\leq s$.這就完成了定理的證明.

輪換的分解    注意到對(duì)于你輪換$(1~2~\cdots~r)$顯然有分解$$(1~2~\cdots~r)=(1~r)\cdots(1~2)$$也就是說每個(gè)輪換都可以被分解成一些對(duì)換的乘積(注意這里沒有不相交的條件),但是顯然這種分解方式并不唯一,例如$$(1~2~3)=(1~3)(1~2)=(1~4)(3~4)(2~4)(1~4)$$但是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)不同的分解方式下,輪換個(gè)數(shù)的奇偶性相同,我們有如下的定理:

$S_n$中任意輪換$\sigma$可被分解成一些對(duì)換的乘積,并且不同的分解方式下對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性相同，換句話說對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性是由輪換本身決定的.

證明    我們采用一種矩陣的證法,在集合$S=\{a_1,\cdots,a_n\}$中,每個(gè)輪換都可以看作是一個(gè)線性變換,對(duì)應(yīng)一個(gè)初等矩陣.每個(gè)對(duì)換$(i~j)$可以視作$S$上的一個(gè)線性變換,對(duì)應(yīng)一個(gè)第一類初等矩陣(對(duì)換單位陣的第$i,j$行得到的矩陣)

\[A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\
{} & \ddots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\
{} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\
{} & {} & {} & 0 & \cdots & 1 & {} & {} & {} \\
{} & {} & {} & \vdots & \ddots & \vdots & {} & {} & {} \\
{} & {} & {} & 1 & \cdots & 0 & {} & {} & {} \\
{} & {} & {} & {} & {} & {} & 1 & {} & {} \\
{} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \ddots & {} \\
{} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 1 \\
\end{array}} \right)\]

不難看出他的行列式${\mathrm det}A=-1$,并且輪換$\sigma$對(duì)應(yīng)的矩陣$M$即為相應(yīng)分解下每個(gè)對(duì)換的矩陣的乘積從而$$\mathrm {det}M=\mathrm {det}\left(A_1\cdots A_s\right)=\prod_{i=1}^{s}(-1)=(-1)^s$$這樣會(huì)發(fā)現(xiàn)如果分解的個(gè)數(shù)的奇偶性 對(duì)應(yīng)$\{1,-1\}$.顯然對(duì)于同一輪換的不同對(duì)換分解個(gè)數(shù)$s,t$就需要$(-1)^s=(-1)^t$,這說明$s,t$的奇偶性相同.這便完成了證明.

而任意置換$\sigma$可以分解成一些不相交輪換的乘積，據(jù)此我們得出任意置換可被分解成一些對(duì)換的乘積，并且不同的分解中對(duì)換的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,如果個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè),那么稱$\sigma$是奇置換；偶數(shù)個(gè)則稱$\sigma$為偶置換.可以看出$r-$輪換的奇偶性和整數(shù)$r$的奇偶性相反.

由上述性質(zhì)可以看出偶置換乘以偶置換還是偶置換,并且偶置換的逆還是偶置換,恒等映射$(1)$也是一個(gè)偶置換(因?yàn)?(1)=(1~2)(1~2)$),從而全體偶置換構(gòu)成了$S_n$的子群,稱為$n$元交錯(cuò)群,記作$A_n$.事實(shí)上按照奇偶置換的運(yùn)算結(jié)果可以看出$A_n$還是$S_n$的正規(guī)子群$A_n\triangleleft S_n$.

事實(shí)上很容易看出$S_n$中奇偶置換的個(gè)數(shù)是一樣的,這里給出一個(gè)簡單的證明,考慮如下映射$$\phi:S_n\to\{1,-1\}$$$\phi$將偶置換對(duì)應(yīng)到$1$,奇置換對(duì)應(yīng)到$-1$,不難驗(yàn)證這是一個(gè)滿的群同態(tài),根據(jù)同態(tài)基本定理有$S_n/\mathrm{Ker}\phi\simeq\{1,-1\}$,而顯然$\mathrm{Ker}\phi=A_n$,根據(jù)Lagrange定理可知$$2=|S_n/A_n|=\frac{|S_n|}{|A_n|}$$從而奇偶置換個(gè)數(shù)相同.

上述證明還可以看出,如果$S_n$的任意子群$H$中含有奇置換,那么必然奇偶置換各半!