設$X$是局部緊Hausdorff空間, $\mathscr{O}$是$X$的一個基, $\mathscr{C}$是$\mathscr{O}$中的有緊閉包的集合組成的$\mathscr{O}$的子族. 則$\mathscr{C}$也是$X$的一個基.

證明：
對于任意的$x\in X$, 有緊鄰域$U_x$, 于是存在$O\in\mathscr{O}$使得$x\in O\subset U_x$. 因此$\bar{O}$作為$U_x$的閉子集是緊集. 即$O\in\mathscr{C}$. 以上說明對于任意的$x\in X$, 都存在$O\in\mathscr{C}$使得$x\in O$, 所以$\mathscr{C}$也是$X$的一個基.

推論：第二可數的局部緊Hausdorff空間都是$\sigma$-緊的.