《現代永磁同步電機FOC控制技術權威指南：從PID、系統辨識到LQR/MPC》

前言

在機器人、新能源汽車、高端數控機床和無人機技術飛速發展的今天，永磁同步電機（PMSM）憑借其高效率、高功率密度和優越的調速性能，已成為高性能運動控制領域的絕對主力。然而，要將PMSM的潛力發揮到極致，僅僅讓它“轉起來”是遠遠不夠的。如何實現絲滑的低速控制、閃電般的動態響應和精準的轉矩輸出，是對每一位嵌入式工程師提出的嚴峻挑戰。

這份指南正是為此而生。我們觀察到，許多工程師和學者在學習磁場定向控制（FOC）時，面臨著三大核心痛點：

1. 理論與實踐脫節：教科書上充斥著復雜的數學公式，但鮮有文章能講清楚這些公式如何一步步轉化為穩定、高效的嵌入式代碼。
2. 知其然，不知其所以然：很多工程師使用開源庫或廠商提供的例程，能夠驅動電機，但對于其中的參數（如PID增益、電流環帶寬）的物理意義和整定依據一知半解，一旦遇到性能瓶頸或“疑難雜癥”，便束手無策，調參過程如同“玄學”。
3. 技術迭代的知識壁壘：當項目需求超出傳統PID的控制能力時，如何向LQR、MPC等更現代的控制理論平滑過渡，缺乏一條清晰、可實踐的學習路徑。

本指南旨在徹底打破這些壁壘。我們將沿著一條精心設計的脈絡，帶領讀者從零開始，構建一個堅不可摧的知識體系：
FOC基礎 -> 硬件抽象與信號鏈路 -> 系統辨識 -> PID深度設計 -> 前饋補償 -> LQR/MPC進階

我們將摒棄空洞的理論說教，每一個知識點都將圍繞“在FOC中遇到了什么問題？”、“這個理論如何解決它？”以及“代碼層面如何落地？”這三個核心問題展開。您將看到的不僅是公式，更是經過驗證的代碼、直觀的圖表和來自工程一線的實踐經驗。

如何使用本指南

• 對于初學者或希望系統學習的工程師：我們強烈建議您從第零章開始，按順序閱讀。打好硬件和基礎理論的地基，是通往高性能控制的唯一捷徑。
• 對于有一定經驗，希望解決特定問題的工程師：您可以直接跳轉到感興趣的章節。例如，如果您對PID調參感到困惑，可以直接閱讀第二章（系統辨識）和第三章（PID深度設計）。
• 對于項目經理或技術決策者：第六章的橫向對比表格和技術選型路線圖，將為您提供清晰、實用的決策依據。

前置知識

為了獲得最佳的學習體驗，我們假設您已具備：

• 基本的C語言編程能力和嵌入式開發經驗。
• 對線性代數（矩陣運算）和自動控制原理（傳遞函數、狀態空間）有初步了解。
• 一顆渴望探究事物本質、追求卓越工程技術的心。

現在，讓我們一起開啟這段從“能轉”到“轉得好”，再到“極致性能”的探索之旅。

第零章：萬丈高樓平地起——硬件平臺與信號鏈路

【忠告】 任何先進的控制算法都建立在可靠的硬件和高質量的信號之上。軟件的性能上限，在項目初期就已經由硬件平臺和信號鏈路的質量所決定。忽視本章內容，直接進入算法調試，是導致項目延期和性能不達標的最常見原因之一。

0.1 典型FOC硬件系統架構

一個典型的FOC驅動系統由以下幾個核心部分組成，它們之間環環相扣，構成一個完整的閉環控制系統。

• 微控制器 (MCU)：整個系統的大腦。它負責執行FOC算法（坐標變換、PID計算等），生成PWM信號，并處理來自傳感器的反饋信號。
• 預驅動器 (Gate Driver)：一個關鍵的中間環節。它負責將MCU輸出的邏輯電平PWM信號，放大為足以驅動逆變器中功率管（MOSFET/IGBT）的電壓和電流。同時，它還提供關鍵的保護功能，如死區插入（Dead-time Insertion）和短路保護。
• 三相逆變器 (Inverter)：系統的“肌肉”。由六個功率管組成，它根據預驅動器傳來的開關信號，將直流母線電壓（DC Bus Voltage）轉換為三相交流電，驅動電機。
• 永磁同步電機 (PMSM)：控制對象和執行機構。
• 傳感器 (Sensors)：系統的“感官”。
  • 電流傳感器：測量至少兩相的相電流，是電流環閉環控制的基礎。
  • 位置/速度傳感器：測量轉子的精確角度和速度，是速度環閉環和坐標變換（Park變換）的基礎。

0.2 核心元器件選型考量

• MCU的選擇：

  • 主頻與FPU：FOC算法包含大量三角函數和浮點運算。帶有硬件浮點單元（FPU）的MCU（如Cortex-M4, M7等）是實現高性能FOC的首選。它能將浮點運算時間縮短一個數量級，使您有更多CPU周期來運行更快的控制循環或更復雜的算法。
  • ADC性能：ADC的分辨率和轉換速度直接決定了電流采樣的質量。一個12-bit、轉換時間小于1μs的ADC是基本要求。高速、高精度的ADC能提供更平滑、噪聲更低的電流反饋。
  • PWM模塊：需具備互補輸出模式和硬件死區插入功能。這能有效防止同一橋臂的上下管同時導通（直通），避免硬件損壞。高級PWM模塊還支持與ADC的聯動觸發，這是實現精確同步采樣的關鍵。

• 電流傳感器的選擇：

  • 采樣方式：常見的有低側采樣（在相線和地之間串聯采樣電阻）、高側采樣（在直流母線正極和橋臂上管之間串聯電阻）和相內采樣。低側采樣電路簡單，但無法檢測到直通等故障；高側采樣更安全；相內采樣（如霍爾傳感器）隔離性好，但成本和體積較大。對于大多數應用，基于采樣電阻的方案性價比最高。
  • 帶寬與噪聲：傳感器的帶寬必須遠大于電流環的帶寬（通常要求10倍以上），否則會引入相位延遲，影響環路穩定性。運放的選型同樣重要，低噪聲、高帶寬的運放是保證信號質量的前提。

• 位置/速度傳感器的選擇：

  • 分辨率：編碼器的分辨率直接決定了電機在低速下的平穩性。一個高分辨率的編碼器（如2500線/轉或更高）可以提供更精確的角度信息，從而實現更平滑的轉矩控制，顯著改善低速“頓挫感”。

0.3 關鍵信號鏈路的同步性

【核心痛點】 為什么我的電流采樣值噪聲很大，即使在電機靜止時也是如此？為什么電機在低速時會“發抖”？90%的概率，是你的PWM和ADC采樣沒有做到精確同步。

在FOC中，我們希望測量的是相電流的平均值，而不是充滿了開關紋波的瞬時值。在使用中心對齊PWM模式時，電流在一個PWM周期內的紋波是近似三角波的。

(圖示：中心對齊PWM下的電流紋波與最佳采樣點)

如上圖所示，電流紋波在PWM周期的中心（計數器峰值）和兩端（計數器零點）達到峰值。在這些點，電流的瞬時變化率di/dt最小，信號最穩定。因此，必須將ADC采樣觸發點精確地安排在PWM計數器達到峰值（上溢）或谷值（下溢）的瞬間，這能顯著降低開關紋波引入的采樣噪聲，從而保證采樣質量。

如何實現同步？
現代MCU的定時器模塊（Timer）通常具有觸發ADC的功能。您需要將PWM定時器配置為中心對齊模式，并設置其更新事件（Update Event，即計數器下溢）或觸發輸出（Trigger Out）來啟動ADC轉換。

C偽代碼示例 (以STM32為例):

// 偽代碼: 配置Timer1觸發ADC1

// 1. 配置TIM1為主模式，當更新事件(UEV)發生時，產生觸發信號(TRGO)
TIM_MasterConfigTypeDef sMasterConfig = {0};
sMasterConfig.MasterOutputTrigger = TIM_TRGO_UPDATE; // 選擇更新事件作為觸發源
sMasterConfig.MasterSlaveMode = TIM_MASTERSLAVEMODE_DISABLE;
HAL_TIMEx_MasterConfigSynchronization(&htim1, &sMasterConfig);

// 2. 配置ADC1為從模式，其轉換由TIM1的觸發信號啟動
ADC_ExternalTrigConvCfgTypeDef sConfigExternalTrig = {0};
sConfigExternalTrig.ExternalTrigConv = ADC_EXTERNALTRIGCONV_T1_TRGO; // 外部觸發源為TIM1的TRGO
sConfigExternalTrig.ExternalTrigConvEdge = ADC_EXTERNALTRIGCONVEDGE_RISING; // 在觸發信號的上升沿啟動
HAL_ADC_ConfigChannel(&hadc1, &sConfig);

// 3. 啟動PWM和ADC
HAL_TIM_PWM_Start(&htim1, TIM_CHANNEL_1);
HAL_TIMEx_PWMN_Start(&htim1, TIM_CHANNEL_1); // 啟動互補通道
HAL_ADC_Start_DMA(&hadc1, (uint32_t*)adc_raw_buffer, 2); // 啟動ADC，使用DMA傳輸數據

通過這種硬件層面的聯動，可以確保每一次電流采樣都發生在PWM周期的最佳時刻，從根源上獲得干凈、穩定的電流反饋信號，為上層控制算法的成功打下堅實的基礎。

第一章：FOC控制與PMSM模型基礎

本章將建立FOC控制所需的最小數學模型，并闡述其核心思想。所有復雜的控制策略，都源于對這個基礎模型的深刻理解。

1.1 PMSM的數學模型

我們從PMSM在自然三相（ABC）靜止坐標系下的定子電壓方程開始：

其中，\(v_{a,b,c}\) 是三相電壓，\(i_{a,b,c}\) 是三相電流，\(R_s\) 是定子電阻，\(\psi_{a,b,c}\) 是三相磁鏈。這個模型是耦合的、非線性的，難以直接用于控制器設計。FOC的目標就是通過坐標變換將其解耦和線性化。

第一步：Clarke變換 (ABC -> αβ)

Clarke變換將三相時變的ABC坐標系，投影到一個正交的、靜止的αβ坐標系。

變換后，三個變量變成了兩個。此時的模型仍然與轉子位置有關，是時變的。

第二步：Park變換 (αβ -> dq)

Park變換是FOC的精髓。它引入了轉子的電角度 \(\theta_e\)，將靜止的αβ坐標系，變換為一個與轉子同步旋轉的dq坐標系。d軸（Direct-axis）通常與轉子磁鏈方向對齊，q軸（Quadrature-axis）與其正交。

最終的dq軸電壓方程

經過兩次變換，我們得到了在dq旋轉坐標系下的PMSM電壓方程。對于表貼式PMSM（SPMSM, \(L_d = L_q = L_s\)），其模型為：

其中：

• \(v_d, v_q\)：d,q軸電壓
• \(i_d, i_q\)：d,q軸電流
• \(L_s\)：定子電感 (\(L_d = L_q\))
• \(\omega_e\)：轉子電角速度 (\(\omega_e = N_p \cdot \omega_m\), \(N_p\)為極對數, \(\omega_m\)為機械角速度)
• \(\psi_f\)：永磁體磁鏈

這個模型是線性的、時不變的（當\(\omega_e\)恒定時）。所有的變量都變成了類似直流的慢變量，這為使用經典的PI控制器創造了完美的條件。

1.2 FOC的核心思想

觀察dq軸電壓方程，再看電磁轉矩方程：

對于表貼式電機（SPMSM），\(L_d = L_q\)，轉矩方程簡化為：

核心思想就體現在這里：

1. 解耦：轉矩\(T_{em}\)只與q軸電流\(i_q\)成正比，而與d軸電流\(i_d\)無關。這就像控制一臺他勵直流電機，我們可以通過控制電樞電流（相當于\(i_q\)）來直接控制轉矩，同時保持勵磁電流（相當于\(i_d\)）不變。
2. 磁場控制：d軸電流\(i_d\)主要控制轉子磁場。在FOC中，最常用的策略是Id=0控制，即讓\(i_d\)的參考值為0。這樣做的好處是：
   • 效率最高：定子電流矢量完全用于產生轉矩，沒有產生無效磁場的無功分量，銅耗最小。
   • 線性轉矩特性：轉矩與\(i_q\)完全呈線性關系，簡化了控制。
   • （在高速區，會使用弱磁控制，即注入負的\(i_d\)，此處暫不展開）。

而對于內嵌式電機（IPMSM），由于\(L_q > L_d\)，轉矩方程中的 \((L_d - L_q)i_d i_q\) 項不能忽略，這一項被稱為磁阻轉矩。通過注入特定的負\(i_d\)，可以利用磁阻轉矩在不增加電流的情況下獲得額外的轉矩輸出，即“最大轉矩電流比（MTPA）”控制策略。

FOC的本質，就是通過坐標變換，在旋轉的dq坐標系里，把交流電機當成一臺直流電機來控制。

1.3 FOC的典型級聯結構

為了實現對電機速度和轉矩的精確控制，FOC通常采用雙閉環級聯控制結構：一個外環（速度環）和一個內環（電流環）。

• 速度環（外環）：一個較慢的環路。
  • 輸入：速度參考值 \(\omega_{ref}\) 和從編碼器反饋的速度實際值 \(\omega_{fb}\)。
  • 控制器：通常是一個PI控制器。
  • 輸出：q軸電流的參考值 \(I_{q\_ref}\)。這個輸出本質上是期望的轉矩指令。
• 電流環（內環）：一個非常快的環路，是整個FOC性能的核心。
  • 它包含兩個獨立的PI控制器，分別控制\(i_d\)和\(i_q\)。
  • 輸入：d軸電流參考值 \(I_{d\_ref}\)（通常為0）和q軸電流參考值 \(I_{q\_ref}\)（來自速度環的輸出），以及經過坐標變換后的\(i_d, i_q\)反饋值。
  • 控制器：兩個PI控制器。
  • 輸出：d軸和q軸的電壓指令 \(V_{d\_ref}, V_{q\_ref}\)。
• 執行：\(V_{d\_ref}, V_{q\_ref}\)經過逆Park變換和SVPWM模塊，最終生成驅動逆變器的6路PWM信號。

這種級聯結構的好處是，內環（電流環）的動態響應遠快于外環（速度環），可以確保電流能夠快速、精確地跟蹤其參考值。這樣，速度環就可以假定“我給出的轉矩指令（\(I_{q\_ref}\)）能夠被完美執行”，從而大大簡化了速度環的設計。

1.4 SVPWM技術簡介

SVPWM（空間矢量脈寬調制）是FOC控制鏈的最后一環，也是最理想的執行機構。

• 作用：它接收來自電流環輸出的電壓指令 \(V_{d\_ref}, V_{q\_ref}\)。這兩個值經過逆Park變換后，會合成一個空間電壓矢量 \(\vec{V}_{ref}\)。SVPWM的任務就是，通過巧妙地控制逆變器六個開關管在一個PWM周期內的開關時間，來合成等效于 \(\vec{V}_{ref}\) 的電壓輸出。
• 優勢：相比傳統的SPWM，技術資料表明，SVPWM和三次諧波注入（THIPWM）的直流母線電壓利用率可達0.907（即\(1/\sqrt{3}\)），相比SPWM的0.785（即\(\pi/4\)）提高了約15%。這意味著在相同的母線電壓下，電機可以輸出更高的轉速和轉矩。

在本指南中，我們不深入SVPWM的算法細節，而是將其視為一個標準的“函數塊”：輸入是期望的 \(\alpha\beta\) 軸電壓，輸出是三相PWM的占空比。

1.5 坐標系約定與一致性

【提示】 一個新手極易出錯且調試過程極其痛苦的“坑”，就是整個項目中的角度定義不一致。

FOC的正確運行，依賴于一個絕對統一的電氣角度 \(\theta_e\)。這個角度在兩個地方至關重要：

1. Park變換：將反饋電流從 \(\alpha\beta\) 坐標系變換到 dq 坐標系。
2. 逆Park變換：將期望電壓從 dq 坐標系變換回 \(\alpha\beta\) 坐標系。

問題根源：

• 編碼器零點與A相軸線未對齊：物理安裝時，編碼器的0度脈沖位置，與電機A相繞組的磁軸中心位置，幾乎不可能完全重合。它們之間存在一個固定的電氣偏移角（Electrical Offset）。
• 不同變換公式的差異：不同的教科書或論文，其Clarke/Park變換矩陣可能存在細微差異（例如，對齊q軸還是d軸），這會導致角度定義相差90度。

解決方案：初始位置角校準
在系統第一次上電時，必須執行一個校準程序來找到這個電氣偏移角。一個簡單有效的方法是：

1. 強制對齊：給電機d軸一個固定的直流電流（例如 \(I_d = 0.1 \times I_{rated}, I_q = 0\)），\(I_q\)設為0。這會在定子中產生一個方向確定的磁場。
2. 轉子跟隨：由于永磁體轉子會像指南針一樣，自動旋轉到與定子磁場對齊的位置以求能量最低，此時轉子磁鏈軸線（d軸）將與定子合成磁場軸線對齊。
3. 記錄角度：等待電機穩定后，讀取此時編碼器的機械角度讀數 \(\theta_{m\_offset}\)。
4. 計算偏移：電氣偏移角 \(\theta_{offset} = N_p \cdot \theta_{m\_offset}\)。
5. 應用校正：在后續的FOC運算中，真實的電氣角度應該是 \(\theta_e = N_p \cdot \theta_{m\_raw} - \theta_{offset}\)，其中\(\theta_{m\_raw}\)是編碼器實時讀數。

在整個項目中，所有使用到角度的地方，都必須使用這個經過校正的 \(\theta_e\)。強烈建議將角度的獲取和校正封裝成一個獨立的函數，以保證一致性。

第二章：高性能控制的基石——系統辨識

如果說第一章我們建立了理論的“地圖”，那么本章就是教會我們如何使用“GPS”來精確定位我們自己（即我們的控制對象）在這張地圖上的位置。沒有精確的系統模型參數，任何先進的控制算法都如同在迷霧中航行，再精妙的理論也無法轉化為卓越的性能。

2.1 核心論點：為何系統辨識是不可或缺的？

讓我們用一個生動的例子來回答這個問題。

想象一下調試一個高精度六軸機械臂。

• “盲調”工程師小李：他拿到機械臂，不進行任何建模，直接開始憑感覺調整速度環的PID參數。他增大P，機械臂開始震蕩；他減小P，又覺得響應太慢；他加入I，希望能消除穩態誤差，卻在快速啟停時看到了巨大的過沖和積分飽和。整個下午過去了，機械臂的性能依然差強人意，時而振動，時而遲鈍，像一個“醉漢”。
• “建模”專家王工：他拿到機械臂后，第一件事不是調PID，而是進行系統辨識。他通過施加特定的轉矩指令并測量關節的角加速度響應，精確地計算出了該關節的轉動慣量 J 和摩擦系數 B。有了這些參數，他直接套用基于模型的PID整定公式，一次性計算出了接近最優的PID增益。整個過程只花了半小時。隨后，他只需要進行微調，機械臂的響應便如“外科醫生”般精準、快速且穩定。

這個例子中的天壤之別，就是系統辨識的價值所在。盲目調參是在與一個未知的、看不見的敵人作戰，而基于系統辨識的參數整定，則是拿著精確的地圖和裝備，進行一場勝券在握的精確打擊。

2.2 需要辨識的關鍵參數

在FOC控制中，我們主要關心以下幾個核心物理參數：

2.3 辨識方法詳述

2.3.0 辨識前的安全須知

【警告】 系統辨識過程會給電機注入非正常的電壓或電流信號，存在潛在的失控風險。在開始任何辨識操作前，請務必遵守以下安全準則：

1. 設置嚴格的限制：在代碼中設置嚴格的電流保護閾值、電壓保護閾值和速度保護閾值。一旦超出，立即停止所有PWM輸出。
2. 機械解耦：如果條件允許，將電機與最終的負載（如齒輪箱、傳送帶）斷開，先辨識電機本體的參數。
3. 備好急停開關：確保您的測試平臺有一個物理的急停按鈕，可以隨時切斷電源。
4. 從低幅值開始：所有注入的測試信號，都應從一個非常小的幅值開始，確認系統穩定后再逐步增大。

2.3.1 離線與在線辨識方法論

• 離線辨識（Offline Identification）：在電機正式運行前，通過專門的測試程序，依次測量出電機的各項參數。這些參數在后續的正常運行中被視為常數。本章主要介紹離線辨識方法，因為它最常用且效果穩定。
• 在線辨識（Online Identification）：在電機正常運行時，通過特定的算法（如模型參考自適應、卡爾曼濾波器等）持續地估計和更新系統參數。這對于參數會發生變化的系統（如負載變化、電機溫升導致電阻變化）非常有用，但算法復雜，實現難度高。

2.3.2 直流注入法辨識電阻 \(R_s\)

• 原理：基于歐姆定律 \(V=IR\)。當給電機施加一個直流電壓時，電機靜止不動（\(\omega_e=0\)），dq模型中的速度項為零，d軸電壓方程簡化為 \(v_d = R_s i_d\)。
• 步驟：
  1. 鎖住轉子：可以通過機械方式固定，或者開啟一個高增益的位置環將電機鎖在0度位置。
  2. 注入直流電壓/電流：在FOC控制環路中，設置 \(I_{q\_ref}=0\)，給 \(I_{d\_ref}\) 一個較小的正值（例如額定電流的5%-10%）。
  3. 等待穩定：等待d軸電流環穩定后，記錄此時穩態的d軸電壓指令 \(V_{d\_ref}\) 和d軸電流反饋值 \(I_{d\_fb}\)。
  4. 計算電阻：\(R_s = V_{d\_ref} / I_{d\_fb}\)。為提高精度，可測量多次取平均值。
• 注意事項：電阻值受溫度影響顯著。此方法測出的是冷態電阻，電機運行發熱后電阻會增大。

2.3.3 高頻方波注入法辨識電感 \(L_d, L_q\)

• 原理：對于一個RL電路，當施加一個高頻電壓信號時，感抗 \(\omega L\) 遠大于電阻 \(R\)，電路主要呈現電感特性。電壓方程 \(v = R i + L \frac{di}{dt}\) 中，\(\frac{di}{dt}\) 項占主導地位。
• 步驟：
  1. 鎖住轉子：同辨識電阻。
  2. 注入高頻電壓：在d軸（或q軸）上注入一個正負交替的電壓方波。例如，在一個PWM周期前半段，施加 \(+V_{test}\)，后半段施加 \(-V_{test}\)。
  3. 測量電流斜率：在施加正電壓的階段，電流會線性上升，測量其斜率 \((\frac{di}{dt})_+\)；在施加負電壓的階段，電流會線性下降，測量其斜率 \((\frac{di}{dt})_-\)。
  4. 計算電感：根據 \(v = L \frac{di}{dt}\)，可以得到 \(L = \frac{V_{test}}{\text{斜率}}\)。更精確地，\(L_d = \frac{2 \cdot V_{test}}{(\frac{di_d}{dt})_+ - (\frac{di_d}{dt})_-}\)。辨識\(L_q\)的方法完全相同，只需將電壓注入q軸。
• 注意事項：注入的方波頻率要足夠高，以忽略電阻項的影響；但頻率也不能太高，要保證MCU的ADC有足夠的時間進行多次采樣來計算斜率。

2.3.4 掃頻法辨識系統傳遞函數（重點章節）

• 原理：掃頻法是系統辨識中最為經典和強大的方法之一。其核心思想是，向系統注入一系列不同頻率的正弦信號，并測量系統在每個頻率下的響應（輸出信號的幅值和相位），從而繪制出系統的伯德圖（Bode Plot）。伯德圖就像是系統的“指紋”，完整地描述了系統從低頻到高頻的動態特性。
• 步驟（以辨識速度環傳遞函數為例）：
  1. 搭建測試環境：保持電流環正常運行，斷開速度環的PID控制器。
  2. 注入正弦信號：直接向電流環的q軸電流指令 \(I_{q\_ref}\) 注入一個正弦信號：\(I_{q\_ref}(t) = A \cdot \sin(2\pi f \cdot t)\)。這個\(I_{q\_ref}\)在此處作為系統的輸入。
  3. 測量系統響應：同時，測量電機的速度響應 \(\omega_{fb}(t)\)，作為系統的輸出。
  4. 分析響應：對于每個測試頻率 \(f\)，都需要分析輸出信號 \(\omega_{fb}(t)\) 相對于輸入信號的增益（幅值比）和相位差。這通常需要使用相關性分析或FFT等算法在嵌入式端完成，或將原始數據傳到PC端進行分析。
  5. 繪制伯德圖：以頻率為橫軸，增益（通常用dB表示）和相位為縱軸，將所有測試點連接起來，就得到了系統的伯德圖。
  6. 擬合傳遞函數：觀察伯德圖的形狀，例如，從其轉折頻率、低頻增益和斜率等特征，可以擬合出系統的傳遞函數模型，例如一階或二階模型。從擬合出的模型系數中，就可以反向計算出 \(J\) 和 \(B\) 等物理參數。這一步通常在MATLAB中完成，效率和精度最高。

2.3.5 拖動法/階躍響應法辨識轉動慣量 J

• 原理：基于牛頓第二定律的旋轉形式 \(T = J \alpha\)，其中 \(T\) 是轉矩，\(\alpha\) 是角加速度。如果我們能施加一個已知的恒定轉矩，并測量出產生的恒定角加速度，就能計算出轉動慣量 \(J\)。
• 步驟：
  1. 設置開環轉矩：在FOC中，保持電流環工作，給q軸一個恒定的階躍電流指令 \(I_{q\_ref}\)（忽略摩擦，認為轉矩 \(T = \frac{3}{2}N_p \psi_f I_{q\_ref}\)）。
  2. 測量速度曲線：記錄電機從靜止開始，在恒定轉矩作用下的速度變化曲線。理論上，速度 \(\omega_m(t)\) 應該是一條斜線。
  3. 計算角加速度：計算速度曲線的斜率，即為角加速度 \(\alpha = \frac{d\omega_m}{dt}\)。
  4. 計算慣量：\(J = T / \alpha\)。

2.4 系統辨識的嵌入式代碼實現思路

在嵌入式MCU中，可以設計一個狀態機來自動化整個離線辨識流程。

C語言偽代碼結構：

typedef enum {
    STATE_IDLE,
    STATE_IDENTIFY_R,
    STATE_IDENTIFY_L,
    STATE_IDENTIFY_J,
    STATE_DONE,
    STATE_ERROR
} IdentificationState_t;

IdentificationState_t g_id_state = STATE_IDLE;
float identified_R, identified_L, identified_J;

void Identification_Process(void) {
    switch (g_id_state) {
        case STATE_IDLE:
            // 等待啟動指令
            break;
        case STATE_IDENTIFY_R:
            // 執行直流注入法辨識電阻的邏輯
            // ...
            if (is_R_identification_complete()) {
                identified_R = get_calculated_R();
                g_id_state = STATE_IDENTIFY_L;
            }
            break;
        case STATE_IDENTIFY_L:
            // 執行高頻注入法辨識電感的邏輯
            // ...
            if (is_L_identification_complete()) {
                identified_L = get_calculated_L();
                g_id_state = STATE_IDENTIFY_J;
            }
            break;
        case STATE_IDENTIFY_J:
            // 執行階躍響應法辨識慣量的邏輯
            // ...
            if (is_J_identification_complete()) {
                identified_J = get_calculated_J();
                g_id_state = STATE_DONE;
            }
            break;
        case STATE_DONE:
            // 所有參數辨識完成，可以保存參數并停止
            break;
        case STATE_ERROR:
            // 處理錯誤狀態
            break;
    }
}

2.5 MATLAB在系統辨識與建模中的核心應用

2.5.1 引言：為何使用MATLAB？

雖然可以在嵌入式端實現簡單的辨識算法，但要進行精確、魯棒的系統辨識，尤其是在處理掃頻法等復雜數據時，MATLAB是當之無愧的“瑞士軍刀”。它是連接物理世界（從MCU采集的原始數據）和理論世界（精確的數學模型）的最強大橋梁。借助其強大的 System Identification Toolbox? 和 Control System Toolbox?，我們可以極大地簡化辨識流程，并獲得更高的模型精度。

2.5.2 辨識工作流詳解：從數據到模型

1. 數據準備與導入
首先，在嵌入式設備上運行掃頻或階躍響應程序，將輸入信號（如\(I_{q\_ref}\)）和輸出信號（如\(\omega_{fb}\)）以及對應的時間戳，通過串口打印出來，并保存為CSV文件（例如 scan_data.csv）。

% MATLAB代碼: 導入數據
data = readtable('scan_data.csv');
% 假設CSV文件有三列: 'timestamp', 'input', 'output'
t = data.timestamp;
u = data.input;
y = data.output;
sample_time = t(2) - t(1); % 計算采樣時間

2. 數據預處理
原始數據通常包含噪聲和直流偏置，需要進行預處理。

% MATLAB代碼: 數據預處理
u = detrend(u); % 去除輸入信號的直流偏置
y = detrend(y); % 去除輸出信號的直流偏置
% 還可以使用 filter 函數進行濾波
% 將數據封裝成標準辨識對象 iddata
id_data = iddata(y, u, sample_time);

3. 模型辨識與參數估計 (核心)

• 圖形化工具：在MATLAB命令行輸入 systemIdentification，會打開圖形化APP。您可以導入id_data，嘗試用不同的模型（如傳遞函數、狀態空間模型）去擬合數據，界面會直觀地顯示擬合效果。
• 命令行方式（更高效、可腳本化）：

  % 假設我們根據物理知識，認為速度環模型是一個二階系統
  % G(s) = K / (J*s^2 + B*s + 1)
  % 這里的模型結構是兩個極點，沒有零點
  num_poles = 2;
  num_zeros = 0;
  sys_est = tfest(id_data, num_poles, num_zeros); % 使用tfest進行傳遞函數估計
  

  對于掃頻法獲得的數據（頻率f, 增益amp, 相位phase），應使用frd對象：

  % MATLAB代碼: 處理掃頻數據
  w = 2 * pi * f; % 轉換為角頻率
  response = amp .* exp(1i * deg2rad(phase)); % 轉換為復數響應
  frd_data = frd(response, w); % 創建頻率響應數據對象
  sys_est_from_freq = tfest(frd_data, num_poles, num_zeros); % 從頻率響應數據進行擬合
  

4. 模型驗證
辨識出的模型是否可信？需要與原始數據進行對比。

% MATLAB代碼: 模型驗證
compare(id_data, sys_est);
legend('Measured Output', 'Estimated Model Output');

compare函數會生成一張圖，將真實測量值與模型預測值放在一起。同時，窗口標題會顯示“擬合優度”（Fit to estimation data），例如“92.5%”。這個百分比越高，代表模型對真實系統的描述越準確。

2.5.3 從辨識模型到參數提取

我們得到的是一個數學模型，如 \(G(s) = \frac{C}{s^2+As+B}\)。如何反向計算出物理參數 \(J, B\)？
這需要將標準物理模型與辨識出的模型進行對比。
速度環的物理模型通常為：\(G(s) = \frac{\omega_m(s)}{T_{em}(s)} = \frac{1}{Js+B}\) (一階模型)。
通過轉矩常數 \(K_t = \frac{3}{2}N_p \psi_f\)，我們有 \(T_{em}(s) = K_t I_q(s)\)。
所以，我們辨識的傳遞函數 \(\frac{\omega_m(s)}{I_q(s)}\) 應該是 \(G(s) = \frac{K_t}{Js+B} = \frac{K_t/B}{(J/B)s+1}\)。
通過對比辨識出的模型系數，就可以解出\(J\)和\(B\)。

2.5.4 腳本化與自動化

最終要求： 以下是一個完整的MATLAB腳本范例，貫穿了從數據加載到參數提取，再到控制器設計的全過程。

%% 現代永磁同步電機FOC系統辨識與控制器設計腳本
% Author: DeepResearch
% Date: 2025-08-07

clc; clear; close all;

%% 1. 數據加載與準備
disp('1. Loading data...');
data = readtable('speed_step_response.csv'); % 加載階躍響應數據
t = data.timestamp;
Iq_ref_input = data.input;  % 輸入：q軸電流指令
omega_fb_output = data.output; % 輸出：機械角速度
sample_time = t(2) - t(1);
Kt = 1.5 * 4 * 0.05; % 假設電機轉矩常數 Kt = 1.5 * Np * Psi_f 已知

%% 2. 數據預處理與封裝
disp('2. Pre-processing data...');
% 創建iddata對象
id_data = iddata(omega_fb_output, Iq_ref_input, sample_time, ...
                 'InputName', 'Iq_ref', 'OutputName', 'Omega_fb');
% 去除直流偏置
id_data = detrend(id_data);

%% 3. 系統辨識
disp('3. Identifying system model...');
% 我們期望的模型是 G(s) = Omega(s)/Iq(s) = Kt / (J*s + B)
% 這是一個一階系統
num_poles = 1;
num_zeros = 0;
% 使用tfest進行傳遞函數估計
sys_tf = tfest(id_data, num_poles, num_zeros);

disp('Identified Transfer Function:');
disp(sys_tf);

%% 4. 模型驗證
disp('4. Validating model...');
figure;
compare(id_data, sys_tf);
title('Model Validation: Measured vs. Estimated');
grid on;

%% 5. 物理參數提取
disp('5. Extracting physical parameters...');
% 辨識出的模型形式為: K / (T*s + 1)
% 我們的物理模型為: (Kt/B) / ((J/B)*s + 1)
% 通過對比系數:
% K = Kt/B  =>  B = Kt / sys_tf.num{1}
% T = J/B   =>  J = T * B = sys_tf.den{1}(1) * B
[num, den] = tfdata(sys_tf, 'v');
K = num(end) / den(end);
T = den(1) / den(end);

B_est = Kt / K; % 估算的摩擦系數 B
J_est = T * B_est; % 估算的轉動慣量 J

fprintf('Estimated Friction (B): %.4f N*m*s/rad\n', B_est);
fprintf('Estimated Inertia (J):  %.6f kg*m^2\n', J_est);

%% 6. (可選) 基于模型的控制器自動整定
disp('6. Auto-tuning PID controller...');
% 創建我們估算出的被控對象模型P
P = tf(Kt, [J_est, B_est]);
% 設定期望的開環帶寬 (例如 50 Hz)
target_bandwidth_hz = 50;
wc = target_bandwidth_hz * 2 * pi;
% 使用pidtune自動設計一個PI控制器
[C_pi, info] = pidtune(P, 'PI', wc);

fprintf('\nAuto-tuned Speed PI Controller:\n');
fprintf('  Kp = %.4f\n', C_pi.Kp);
fprintf('  Ki = %.4f\n', C_pi.Ki);

% 顯示閉環響應
figure;
step(feedback(C_pi*P, 1));
title('Closed-loop Step Response with Auto-tuned PI Controller');
grid on;

這個腳本完美地展示了系統辨識的強大威力：我們從一堆看似雜亂的輸入輸出數據開始，最終不僅得到了精確的物理參數 \(J\) 和 \(B\)，還利用這些參數自動設計出了一個性能優異的PI控制器。這，就是從“玄學”調參邁向現代控制工程的關鍵一步。

**第三章：PID控制器的深度設計與實踐 **

歡迎來到本指南的心臟地帶。在這一章，我們將徹底剖析FOC系統中最核心的控制器——PID。我們將摒棄“憑感覺”調參的舊方法，建立一套基于模型的、系統化的設計流程。學完本章，您將有能力為您的電機設計出響應快速、超調微小且抗擾動能力強的控制器。

3.1 PID理論回顧與數字化

PID（Proportional-Integral-Derivative）控制器是工業控制領域當之無愧的基石。其標準形式為：

其中，\(e(t) = r(t) - y(t)\) 是參考值與測量值之間的誤差。

在嵌入式系統中，我們使用離散化的PID。常見的有位置式和增量式兩種。

• 位置式PID：直接計算當前時刻需要輸出的控制總量。

  \[u[k] = K_p e[k] + K_i \sum_{j=0}^{k} e[j] T_s + K_d \frac{e[k] - e[k-1]}{T_s} \]

  其中 \(T_s\) 是控制周期。其缺點是積分項需要累加全部歷史誤差，容易產生巨大的累積值（積分飽和），且在手動/自動切換時會產生劇烈跳變。

• 增量式PID：計算當前時刻控制量的增量 \(\Delta u[k]\)。

  \[\Delta u[k] = u[k] - u[k-1] = K_p(e[k]-e[k-1]) + K_i e[k] T_s + K_d \frac{e[k]-2e[k-1]+e[k-2]}{T_s} \]

  最終輸出為 \(u[k] = u[k-1] + \Delta u[k]\)。增量式PID的輸出與過去的誤差狀態無關，只與最近幾次的誤差有關，這使得它在控制模式切換時能實現平滑過渡，并且積分飽和問題的影響相對較小。因此，在電機控制中，增量式PID更為常用。

3.2 基于模型的PID參數整定（重點）

這是本章的精髓。我們將利用第二章辨識出的電機參數(\(R_s, L_s, J, B\))，像解數學題一樣精確地計算出PID增益。

3.2.1 電流環PI控制器設計

• 目標：電流環是FOC的心跳，必須極快且穩定。我們的設計目標是根據期望的電流環帶寬來設計PI參數。帶寬（Bandwidth, \(\omega_{bw}\)）衡量了系統跟蹤快速變化信號的能力，帶寬越高，響應越快。通常，電流環的帶寬應設置在1-2kHz，遠高于速度環。

• 模型：回顧dq軸電壓方程，我們只看q軸（d軸同理），并暫時忽略速度耦合項（該項將由前饋處理）：

  \[v_q = R_s i_q + L_s \frac{di_q}{dt} \]

  這是一個典型的一階RL電路。其傳遞函數（被控對象模型）為：

  \[G_p(s) = \frac{I_q(s)}{V_q(s)} = \frac{1}{L_s s + R_s} \]

• 控制器設計（極點配置法）：
  我們的PI控制器傳遞函數為 \(G_c(s) = K_{p\_c} + \frac{K_{i\_c}}{s}\)。
  整個電流環的閉環傳遞函數為：

  \[G_{cl}(s) = \frac{G_c(s)G_p(s)}{1 + G_c(s)G_p(s)} = \frac{(K_{p\_c} + \frac{K_{i\_c}}{s}) \frac{1}{L_s s + R_s}}{1 + (K_{p\_c} + \frac{K_{i\_c}}{s}) \frac{1}{L_s s + R_s}} \]

  化簡后得到：

  \[G_{cl}(s) = \frac{K_{p\_c}s + K_{i\_c}}{L_s s^2 + (R_s + K_{p\_c})s + K_{i\_c}} \]

  這里的關鍵技巧是極點-零點對消。我們設置PI控制器的零點 \(s = -K_{i\_c}/K_{p\_c}\) 去抵消被控對象的極點 \(s = -R_s/L_s\)。
  令 \(\frac{K_{i\_c}}{K_{p\_c}} = \frac{R_s}{L_s}\)，即 \(K_{i\_c} = K_{p\_c} \frac{R_s}{L_s}\)。
  代入上式，閉環傳遞函數被奇跡般地簡化為一個標準的一階系統：

  \[G_{cl}(s) = \frac{K_{p\_c}/L_s}{s + K_{p\_c}/L_s} \]

  我們期望的閉環系統是一個帶寬為 \(\omega_{bw\_c}\) 的一階低通濾波器，其標準形式為 \(\frac{\omega_{bw\_c}}{s + \omega_{bw\_c}}\)。
  對比兩式，可得 \(\omega_{bw\_c} = K_{p\_c}/L_s\)。

• 最終計算公式：

  \[K_{p\_c} = \omega_{bw\_c} \cdot L_s \]
  \[K_{i\_c} = \omega_{bw\_c} \cdot R_s \]

  其中，\(\omega_{bw\_c}\) 是我們期望的電流環帶寬（單位：rad/s）。例如，若期望帶寬為1000Hz，則 \(\omega_{bw\_c} = 2\pi \cdot 1000\)。
  看，我們利用辨識出的 \(L_s\) 和 \(R_s\)，只通過設定一個有明確物理意義的“帶寬”，就直接計算出了最優的PI參數！

3.2.2 速度環PID控制器設計

• 目標：速度環的設計目標是根據期望的速度環帶寬和阻尼比來設計參數，確保系統在快速響應的同時沒有過大的超調。速度環帶寬通常遠低于電流環，例如50-100Hz。

• 模型：速度環的被控對象是整個電流環+電機機械部分。由于電流環設計得非常快，我們可以近似認為它是一個理想的增益為1的環節（即 \(I_{q\_fb} \approx I_{q\_ref}\)）。
  因此，速度環的被控對象簡化為電機的機械模型，其輸入為轉矩 \(T_{em}\)，輸出為速度 \(\omega_m\)：

  \[T_{em} = J \frac{d\omega_m}{dt} + B \omega_m \]

  其傳遞函數為 \(G_m(s) = \frac{\omega_m(s)}{T_{em}(s)} = \frac{1}{Js + B}\)。
  由于 \(T_{em} = K_t \cdot I_q\)（其中 \(K_t = \frac{3}{2}N_p \psi_f\) 是轉矩常數），我們辨識的實際對象是：

  \[G_p(s) = \frac{\omega_m(s)}{I_q(s)} = \frac{K_t}{Js + B} \]

• 控制器設計（標準二階系統法）：
  速度環通常使用PI控制器（PD控制器也可以，取決于具體需求）。我們以PI控制器 \(G_c(s) = K_{p\_s} + \frac{K_{i\_s}}{s}\) 為例。
  閉環傳遞函數的分母（特征方程）為 \(1 + G_c(s)G_p(s) = 0\)。

  \[1 + (K_{p\_s} + \frac{K_{i\_s}}{s}) \frac{K_t}{Js + B} = 0 \implies s(Js+B) + K_t(K_{p\_s}s + K_{i\_s}) = 0 \]

  整理得：

  \[Js^2 + (B + K_t K_{p\_s})s + K_t K_{i\_s} = 0 \]

  這是一個標準的二階系統。其標準形式為 \(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0\)。其中 \(\omega_n\) 是自然振蕩頻率，\(\zeta\) 是阻尼比（\(\zeta=1\)為臨界阻尼，響應最快無超調）。我們將\(\omega_n\)設置為期望的速度環帶寬\(\omega_{bw\_s}\)。
  對比系數可得：

  \[\frac{B + K_t K_{p\_s}}{J} = 2\zeta\omega_{bw\_s} \quad \text{and} \quad \frac{K_t K_{i\_s}}{J} = \omega_{bw\_s}^2 \]

• 最終計算公式：

  \[K_{p\_s} = \frac{2\zeta\omega_{bw\_s} J - B}{K_t} \]
  \[K_{i\_s} = \frac{\omega_{bw\_s}^2 J}{K_t} \]

  通過設定期望的帶寬\(\omega_{bw\_s}\)和阻尼比\(\zeta\)（通常取0.707~1），我們就可以利用辨識出的\(J\)和\(B\)以及已知的\(K_t\)來精確計算速度環PI參數。

3.3 性能飛躍的關鍵——前饋控制的引入（重點）

PID本質上是“事后諸葛亮”，它看到誤差后才開始行動。而前饋（Feedforward）控制則是“先見之明”，它根據參考指令和系統模型，主動地預測出系統所需要的控制量，并將其直接疊加到PID的輸出上。PID只需要負責消除模型不準或外部擾動帶來的微小誤差即可。

這種“PID（反饋）+ 前饋”的結構，也稱為2-DOF（雙自由度）控制器，因為它分別對指令跟蹤和擾動抑制進行了獨立設計。

3.3.2 FOC中的核心前饋項

• 解耦前饋（電流環）：
  還記得我們設計電流環時忽略的速度耦合項嗎？現在我們把它加回來。完整的dq電壓方程是：

  \[v_d = R_s i_d + L_s \frac{di_d}{dt} \underline{- \omega_e L_q i_q} \\ v_q = R_s i_q + L_s \frac{di_q}{dt} \underline{+ \omega_e L_d i_d + \omega_e \psi_f} \]

  下劃線部分就是耦合項/反電動勢項。它們是已知的擾動。我們可以在PI控制器的輸出上，直接把這些項補償掉。

  • d軸前饋電壓：\(V_{d\_ff} = -\omega_e L_q I_{q\_fb}\)
  • q軸前饋電壓：\(V_{q\_ff} = +\omega_e L_d I_{d\_fb} + \omega_e \psi_f\)
    （對于表貼式電機 \(L_d=L_q=L_s\)）

• 慣量與摩擦前饋（速度環）：
  速度環的輸出是期望的轉矩指令 \(I_{q\_ref}\)。根據機械模型 \(T_{em} = J \alpha + B \omega\)，我們可以根據期望的加速度和速度來預測所需要的轉矩。

  • 摩擦前饋：\(T_{ff\_friction} = B \cdot \omega_{ref}\)
  • 慣量前饋：\(T_{ff\_inertia} = J \cdot \alpha_{ref} = J \cdot \frac{d\omega_{ref}}{dt}\)
    總的前饋轉矩為 \(T_{ff} = T_{ff\_friction} + T_{ff\_inertia}\)，轉換成電流指令為 \(I_{q\_ff} = T_{ff} / K_t\)。這個 \(I_{q\_ff}\) 會直接加到速度環PID的輸出上。

3.4 嵌入式實現的“必修課”

理論很美好，但在資源有限的MCU上實現時，必須處理好幾個關鍵的工程問題。

3.4.1 積分抗飽和 (Anti-Windup)

• 問題：當電機堵轉或指令超出物理極限時，控制器輸出達到飽和（如PWM占空比達到100%），但誤差依然存在。此時，標準PID的積分項會無休止地累積，形成一個巨大的“積分炸彈”。一旦誤差反向，這個巨大的積分項無法迅速消退，導致系統產生劇烈的超調和長時間的振蕩。
• 解決方案1：Clamping（鉗位法）
  最簡單的方法。當控制器輸出達到飽和時，如果誤差和輸出同向，就停止積分。

  // C代碼: Clamping Anti-Windup
  pi_out = controller->p_term + controller->i_term;
  if (pi_out > controller->out_max) {
      pi_out = controller->out_max;
      // 如果誤差方向還會繼續增大積分，則凍結積分
      if (error > 0.0f) {
          // 不更新積分項
      } else {
          controller->i_term += error * controller->ki * controller->ts;
      }
  } else if (pi_out < controller->out_min) {
      pi_out = controller->out_min;
      // 如果誤差方向還會繼續減小積分，則凍結積分
      if (error < 0.0f) {
          // 不更新積分項
      } else {
          controller->i_term += error * controller->ki * controller->ts;
      }
  } else {
      // 未飽和，正常積分
      controller->i_term += error * controller->ki * controller->ts;
  }
  

• 解決方案2：Back-Calculation（反演計算法）
  更優雅、效果更好的方法。它計算出飽和輸出與未飽和輸出之間的“溢出量”，然后將這個溢出量以一定的比例反饋給積分器，強迫積分器退出飽和狀態。

  // C代碼: Back-Calculation Anti-Windup
  // 1. 正常計算PI輸出
  un_sat_out = controller->p_term + controller->i_term;
  
  // 2. 對輸出進行飽和限制
  sat_out = un_sat_out;
  if (sat_out > controller->out_max) sat_out = controller->out_max;
  if (sat_out < controller->out_min) sat_out = controller->out_min;
  
  // 3. 計算飽和誤差，并反饋給積分器
  float saturation_error = sat_out - un_sat_out;
  controller->i_term += controller->ki * error * controller->ts + controller->ka * saturation_error;
  // controller->ka 是反飽和增益, 通常取ki或ki的倍數
  

3.4.2 微分項的噪聲抑制

• 問題：微分器對高頻噪聲非常敏感。對反饋信號直接求微分，會極大地放大噪聲，導致輸出抖動。
• 解決方案：不完全微分 或 低通濾波器
  與其使用純微分 \(K_d \frac{de}{dt}\)，不如使用一個帶低通濾波效果的微分器。其傳遞函數為 \(G_d(s) = \frac{K_d s}{T_f s + 1}\)，其中 \(T_f\) 是濾波時間常數。
  離散化后的C代碼實現非常簡潔：

  // C代碼: 帶低通濾波的微分項
  // Td: 微分時間常數, N: 濾波系數(通常取2-20)
  // Tf = Td / N
  // 此處使用基于測量值的微分(Derivative on Measurement)，以避免設定值階躍時的微分沖擊
  controller->d_term = (controller->kd * (controller->prev_measurement - measurement) 
                     + controller->d_filter_alpha * controller->prev_d_term);
  // 其中 d_filter_alpha = Tf / (Tf + Ts)
  

3.4.3 前饋通道的平滑處理

• 問題：當速度參考值ω_ref發生階躍變化時，慣量前饋項 \(J \frac{d\omega_{ref}}{dt}\) 會產生一個理論上無窮大的脈沖，導致控制量突變和系統振蕩。
• 解決方案：斜坡函數或低通濾波
  1. 斜坡函數：不直接使用階躍的ω_ref，而是通過一個斜坡發生器，將階躍信號轉化為平滑的斜坡信號。
  2. 低通濾波：對計算出的前饋項進行低通濾波，濾除其高頻突變成分。

3.4.4 Setpoint Weighting (設定點加權)

• 問題：當設定值階躍時，比例項 \(K_p \cdot (ref - fb)\) 會產生巨大的“比例沖擊”，導致超調。
• 解決方案：只對反饋值應用完整的比例作用，而對設定值應用一個小于1的權重b。
  \[P_{term} = K_p \cdot (b \cdot ref - fb) \]
  當b=0時，比例項只作用于反饋，完全消除了比例沖擊，但可能會降低響應速度。通常b取0.5~0.8。

3.5 完整代碼示例

下面是一個高度工程化的PI控制器C函數，它整合了我們討論過的所有設計細節。

typedef struct {
    // Gains
    float kp;
    float ki;
    float ka; // Anti-windup gain for back-calculation

    // State
    float i_term;
    
    // Limits
    float out_max;
    float out_min;
    
    // Sample time
    float ts;
} PI_Controller_t;

/**
 * @brief 更新一個PI控制器，包含反演計算抗飽和和前饋
 * @param controller PI控制器實例
 * @param error 當前誤差 (ref - feedback)
 * @param feedforward 前饋值
 * @return 最終的控制器輸出
 */
float PI_Controller_Update(PI_Controller_t* controller, float error, float feedforward)
{
    // 1. 計算比例項
    float p_term = controller->kp * error;

    // 2. 計算未飽和的控制器輸出 (僅反饋部分)
    float un_sat_out_fb = p_term + controller->i_term;

    // 3. 將前饋項加入，得到總的未飽和輸出
    float un_sat_out_total = un_sat_out_fb + feedforward;

    // 4. 對總輸出進行飽和限制
    float sat_out_total = un_sat_out_total;
    if (sat_out_total > controller->out_max) {
        sat_out_total = controller->out_max;
    }
    if (sat_out_total < controller->out_min) {
        sat_out_total = controller->out_min;
    }

    // 5. 使用Back-Calculation更新積分項
    // 飽和誤差只應考慮反饋控制器的飽和情況
    float saturation_error = sat_out_total - un_sat_out_total;
    controller->i_term += controller->ki * error * controller->ts + controller->ka * saturation_error;
    
    // (可選) 對積分項自身也進行鉗位，提供雙重保險
    if (controller->i_term > controller->out_max) controller->i_term = controller->out_max;
    if (controller->i_term < controller->out_min) controller->i_term = controller->out_min;

    return sat_out_total;
}


// --- 在主FOC控制循環中的調用 ---
// FOC_Controller_Update() 偽代碼
void FOC_Main_Loop(void) {
    // ... 獲取 speed_ref, speed_fb, id_fb, iq_fb ...
    
    // 1. --- 速度環計算 ---
    float speed_error = speed_ref - speed_fb;
    // (此處應加入速度參考斜坡和前饋計算)
    float speed_ff = calculate_speed_feedforward(speed_ref); // 根據J,B計算
    float iq_ref_total = PI_Controller_Update(&speed_pi, speed_error, speed_ff);

    // 2. --- 電流環計算 ---
    float id_ref = 0.0f; // Id=0控制
    float id_error = id_ref - id_fb;
    float iq_error = iq_ref_total - iq_fb;

    // 計算電流環解耦前饋項
    float vd_ff = - motor.omega_e * motor.Lq * iq_fb;
    float vq_ff =   motor.omega_e * motor.Ld * id_fb + motor.omega_e * motor.psi_f;

    // 更新兩個電流PI控制器
    float vd_ref = PI_Controller_Update(&id_pi, id_error, vd_ff);
    float vq_ref = PI_Controller_Update(&iq_pi, iq_error, vq_ff);

    // ... 后續進行逆Park變換和SVPWM ...
}

至此，我們已經完整地構建了一個專業的、基于模型的、魯棒的PID控制系統。它不再是“黑盒”，而是每一個參數、每一行代碼都有據可依的精密工程。這是通往高性能電機控制的必經之路，也是最堅實的一步。

第四章：最優控制入門——LQR控制器設計

當我們已經將基于模型的PID+前饋技術運用到極致后，可能會遇到一些新的挑戰：例如，如何在系統的響應速度和控制能量（即電流消耗）之間找到一個“最優”的平衡？如何協調多個相互耦合的變量？線性二次調節器（Linear-Quadratic Regulator, LQR）為這類最優化問題提供了一個優雅而強大的數學框架。

4.1 LQR的適用場景：何時以及為何要從PID升級到LQR？

PID是一個單輸入單輸出（SISO）控制器，我們為速度環、d軸電流環、q軸電流環分別設計了獨立的控制器。但我們知道，d/q軸之間存在速度耦合項，它們并非完全獨立。雖然我們用前饋進行了補償，但這是一種解耦的思路。

LQR則是一個多輸入多輸出（MIMO）控制器，它可以將整個系統視為一個整體進行優化。LQR的優勢在于：

1. 原生處理多變量耦合：LQR直接處理多變量的狀態空間模型，天然地考慮了變量間的耦合效應，無需手動設計解耦補償。
2. 性能與能耗的量化權衡：LQR通過代價函數（Cost Function）讓我們能夠明確地、量化地指定對系統狀態誤差和控制能量消耗的重視程度，從而在性能和能耗之間找到最佳平衡點。
3. 保證閉環穩定性：只要系統的狀態空間模型是可控的，并且代價函數中的權重矩陣是正定的，LQR理論上保證能找到一個使閉環系統穩定的唯一最優反饋控制器。
4. 設計流程系統化：相比PID需要分別整定多個參數，LQR的設計過程更為系統化，主要是對權重矩陣Q和R的調整。

因此，當應用場景對能效、多變量協調控制有極高要求時（如高精度伺服系統、電池供電的機器人），LQR是一個值得考慮的升級選項。

4.2 LQR理論精要

LQR的核心是解決以下兩個問題：

1. 系統描述：如何用狀態空間模型來描述我們的PMSM？
2. 優化目標：如何定義一個“最優”的控制目標？

1. 構建PMSM的線性狀態空間模型

狀態空間模型用一組一階微分方程來描述系統，其標準形式為：

其中，\(\mathbf{x}\) 是系統的狀態向量，\(\mathbf{u}\) 是控制輸入向量，\(\mathbf{A}\) 是系統矩陣，\(\mathbf{B}\) 是輸入矩陣。

對于PMSM，我們可以選擇狀態向量為 \(\mathbf{x} = [i_d, i_q]^T\)，控制輸入為 \(\mathbf{u} = [v_d, v_q]^T\)。
從dq軸電壓方程出發（為簡化，暫時忽略常數反電動勢項 \(\omega_e\psi_f\)，它可作為前饋項處理）：

整理成 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u}\) 的形式，可得：

這樣，我們就得到了描述電機電流動態的A矩陣和B矩陣。

2. 定義代價函數 J

LQR的目標是找到一個控制律 \(\mathbf{u}(t)\)，使得從當前到未來無窮時間的代價函數 \(J\) 最小。

這個公式是LQR的靈魂，讓我們直觀地解釋它：

• \(\mathbf{x}^T \mathbf{Q} \mathbf{x}\)：狀態懲罰項。它衡量了系統狀態（如\(i_d, i_q\)）偏離零點（即目標值）的程度。\(\mathbf{Q}\) 是一個半正定的狀態權重矩陣。\(\mathbf{Q}\) 矩陣中的元素越大，意味著我們越不希望對應的狀態變量出現偏差，希望它能更快地回到零點。
• \(\mathbf{u}^T \mathbf{R} \mathbf{u}\)：控制能量懲罰項。它衡量了控制輸入（如\(v_d, v_q\)）的大小，代表了控制所付出的“代價”或消耗的能量。\(\mathbf{R}\) 是一個正定的控制權重矩陣。\(\mathbf{R}\) 矩陣中的元素越大，意味著我們越不希望使用過大的控制輸入，系統會變得更“溫和”，更節省能量。

LQR的求解依賴于代數黎卡提方程（Algebraic Riccati Equation, ARE），通過求解該方程可以得到唯一的、能使閉環系統穩定且性能指標最優的反饋增益。

Q和R的物理意義與調參技巧

\(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 通常選擇為對角矩陣，這使得調參過程更直觀：

• \(q_{id}, q_{iq}\)：分別代表對d軸和q軸電流誤差的“懲罰”力度。如果\(q_{iq}\)遠大于\(q_{id}\)，控制器會優先保證\(i_q\)的跟蹤精度。
• \(r_{vd}, r_{vq}\)：分別代表對d軸和q軸電壓消耗的“懲罰”力度。
• 核心權衡：Q/R的比值決定了系統的響應速度和控制能量消耗之間的平衡。
  • 增大Q或減小R：意味著我們更關心狀態誤差，不惜消耗更多能量也要讓系統快速響應。系統會變得更激進，響應更快。
  • 減小Q或增大R：意味著我們更關心節能，容忍狀態誤差存在更長時間。系統會變得更保守，響應更平緩。

4.3 LQR設計工作流

LQR的強大之處在于，其求解過程有標準化的數學方法。給定\(\mathbf{A, B, Q, R}\)，控制器設計分為離線設計和在線實現兩步。

1. 離線設計：求解反饋增益矩陣K

LQR理論證明，使代價函數\(J\)最小的最優控制律是一個線性的狀態反饋：

其中，反饋增益矩陣 \(\mathbf{K}\) 的計算公式為：

而矩陣 \(\mathbf{P}\) 是通過求解代數黎卡提方程（Algebraic Riccati Equation, ARE）得到的：

手動求解ARE非常復雜，但在MATLAB或Python中，這只是一行代碼的事。

MATLAB/Python腳本示例：

%% LQR Controller Design for PMSM Current Loop
clc; clear; close all;

% 1. 電機參數 (來自第二章的辨識結果)
Rs = 0.5;      % Stator Resistance
Ld = 0.001;    % d-axis Inductance
Lq = 0.0015;   % q-axis Inductance
omega_e = 100; % Electrical speed (rad/s)

% 2. 狀態空間模型
A = [-Rs/Ld,  omega_e*Lq/Ld;
     -omega_e*Ld/Lq, -Rs/Lq];
B = [1/Ld, 0;
     0,    1/Lq];

% 3. LQR權重矩陣 (設計的核心)
% 我們更關心Iq的快速跟蹤，并且希望節省控制能量
Q = [1,   0;      % 懲罰id誤差
     0, 100];    % 重點懲罰iq誤差
R = [1, 0;      % 懲罰vd使用
     0, 1];    % 懲罰vq使用

% 4. 求解LQR增益矩陣 K
% 在MATLAB中，使用 `lqr` 函數
[K, S, e] = lqr(A, B, Q, R);

% 在Python (control庫)中，使用 `control.lqr`
# import control as ct
# K, S, e = ct.lqr(A, B, Q, R)

disp('Calculated LQR Gain Matrix K:');
disp(K);
% K 是一個 2x2 的矩陣，如 [k11, k12; k21, k22]

這個離線計算出的矩陣 K 是一個包含了所有電機參數和我們性能偏好的“濃縮精華”。

2. 在線實現：輕量級控制律

在線實現異常簡單！我們只需要將離線算好的矩陣K燒錄到MCU中，然后在每個控制周期執行一次矩陣乘法。

C代碼示例：

// LQR反饋增益矩陣K (從MATLAB計算得到)
const float K[2][2] = {
    {k11, k12}, // K_11, K_12
    {k21, k22}  // K_21, K_22
};

// 當前狀態x (誤差)
float x[2]; // x[0] = id_ref - id_fb; x[1] = iq_ref - iq_fb;

// 控制輸入u
float u[2]; // u[0] = vd; u[1] = vq;

// --- 在FOC控制循環中 ---
void LQR_Current_Controller_Update(void) {
    // 1. 獲取狀態誤差向量 x
    x[0] = id_ref - id_fb;
    x[1] = iq_ref - iq_fb;

    // 2. 計算控制律 u = -Kx
    u[0] = -(K[0][0] * x[0] + K[0][1] * x[1]);
    u[1] = -(K[1][0] * x[0] + K[1][1] * x[1]);
    
    // 3. (重要!) 添加前饋補償
    // LQR只負責反饋調節，前饋項仍然需要
    float vd_ff = - motor.omega_e * motor.Lq * iq_fb;
    float vq_ff =   motor.omega_e * motor.Ld * id_fb + motor.omega_e * motor.psi_f;
    
    vd_ref = u[0] + vd_ff;
    vq_ref = u[1] + vq_ff;

    // ... 后續進行飽和限制、逆Park變換和SVPWM ...
}

LQR的在線計算量非常小，僅僅是幾次乘法和加法，對于現代MCU來說毫無壓力。

4.4 LQR的實踐挑戰：狀態觀測器

【提醒】 標準LQR理論 u = -Kx 假設所有的狀態變量 x 都是可以精確測量的。但在實際系統中，這往往是一個奢望。

在我們的例子中，狀態是\(i_d\)和\(i_q\)，它們可以通過電流傳感器和坐標變換得到，所以問題不大。但如果我們想用LQR來設計速度環，狀態向量可能會包含角加速度和負載轉矩等無法直接測量的量。

這時，就需要引入狀態觀測器（State Observer）。觀測器的作用就像一個“虛擬傳感器”，它利用已知的系統模型和可測量的輸入輸出（如\(v_q, \omega_m\)），來估計出那些不可測量的狀態。

常見的觀測器有：

• 龍伯格（Luenberger）觀測器：一種結構相對簡單的觀測器。
• 卡爾曼濾波器（Kalman Filter）：一種更強大的最優狀態估計算法，它不僅能估計狀態，還能有效地濾除測量噪聲和過程噪聲。

將LQR控制器和狀態觀測器（如卡爾曼濾波器）結合起來，就構成了LQG（Linear-Quadratic-Gaussian）控制，這是現代控制理論中一個非常經典和完整的框架。引入觀測器會增加算法的復雜度和計算量，但這通常是讓高級控制理論在現實世界中落地的必要一步。

第五章：超越物理傳感——觀測器、濾波器與無感FOC技術

至此，我們所有的討論都建立在一個前提之上：我們擁有一顆精確的位置傳感器（如編碼器）來獲取轉子的角度和速度。然而，在許多應用中，出于成本、體積、可靠性的考慮，我們希望去掉這個物理傳感器，實現所謂的“無傳感器控制”（Sensorless FOC）。

這可能嗎？答案是肯定的。其背后的核心技術，就是本章的主角——狀態觀測器。我們將深入講解觀測器的思想，并探討幾種在無感FOC中主流的實現方法。

5.1 為何需要觀測器？——“虛擬傳感器”的誕生

觀測器（Observer）是一種利用系統模型和可測量的輸入/輸出信號，來估計系統內部不可測量的狀態變量的算法。它本質上是一個運行在MCU中的、與實際物理系統并行的“軟件模型”。

上圖展示了觀測器的基本思想：

1. 并行仿真：觀測器內部有一個與真實電機完全相同的數學模型。它接收與真實電機完全相同的控制輸入（如\(V_{\alpha}, V_{\beta}\)）。
2. 預測輸出：基于內部狀態 \(\hat{\mathbf{x}}\)，觀測器預測出系統應有的輸出 \(\hat{\mathbf{y}}\)（如\(\hat{I}_{\alpha}, \hat{I}_{\beta}\)）。
3. 比較與修正：將觀測器的預測輸出 \(\hat{\mathbf{y}}\) 與傳感器的真實測量輸出 \(\mathbf{y}\)（這里是電流傳感器的值）進行比較，得到預測誤差 \(\mathbf{e} = \mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}}\)。
4. 負反饋校正：這個誤差就像PID控制器中的誤差一樣，通過一個增益矩陣L進行放大，形成一個修正項，反饋到觀測器模型的微分方程中，強迫觀測器的狀態 \(\hat{\mathbf{x}}\) 向真實狀態收斂。

通過這個閉環修正過程，觀測器的內部狀態（如估計的反電動勢、估計的角度和速度）就能非常精確地跟蹤真實電機的狀態。因此，觀測器就成了一個強大的“虛擬傳感器”。

5.2 無感FOC的核心：基于反電動勢（BEMF）的觀測

無感控制的關鍵在于，如何從可測量的電壓和電流中，提取出與轉子位置和速度強相關的那個“神秘信號”？答案就是反電動勢（Back Electromotive Force, BEMF）。

回顧第一章的dq軸電壓方程，其中包含項 \(\omega_e \psi_f\)。在\(\alpha\beta\)靜止坐標系下，反電動勢BEMF是一個向量 \(\vec{E}\)：

這個方程揭示了天大的秘密：

1. BEMF的幅值 \(|\vec{E}| = \sqrt{E_\alpha^2 + E_\beta^2} = \omega_e \psi_f\)，它與電角速度 \(\omega_e\) 成正比。
2. BEMF的相位 包含了 \(\sin(\theta_e)\) 和 \(\cos(\theta_e)\)，它直接暴露了轉子的電角度 \(\theta_e\)！

如果我們能通過觀測器精確地估計出 \(E_\alpha\) 和 \(E_\beta\)，我們就能通過反正切函數計算出角度：

并通過幅值計算出速度：

至此，無感FOC的技術路線圖已經清晰：設計一個觀測器來估計BEMF，然后從BEMF中解碼出角度和速度。

5.3 主流無感算法詳解（重點）

5.3.1 滑模觀測器（Sliding Mode Observer, SMO）

SMO是目前工業界應用最廣泛、最魯棒的無感算法之一。

• 核心思想：滑模控制本身是一種非線性控制方法，其特點是“簡單粗暴”但極其有效。它不追求讓誤差平滑地趨近于零，而是通過一個高速切換的控制律（類似Bang-Bang控制），強行將系統狀態“按”在一個預設的“滑模面”上。一旦系統狀態到達滑模面，就會沿著它穩定地滑向目標點。

• 在FOC中的應用：

  1. 建立電流模型：在\(\alpha\beta\)坐標系下，電機的電流方程為：
     \[\fracw0obha2h00{dt}\begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix} = -\frac{R_s}{L_s}\begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix} + \frac{1}{L_s}\begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix} - \frac{1}{L_s}\begin{bmatrix} E_\alpha \\ E_\beta \end{bmatrix} \]

  2. 構造滑模面：定義電流誤差 \(\tilde{i}_{\alpha\beta} = \hat{i}_{\alpha\beta} - i_{\alpha\beta}\)，其中 \(\hat{i}\) 是觀測值，\(i\) 是真實測量值。滑模面就定義為這個電流誤差 \(S = \tilde{i}_{\alpha\beta} = 0\)。
  3. 設計滑模控制律：觀測器的核心方程如下，注意其中的sign函數：
     \[\fracw0obha2h00{dt}\begin{bmatrix} \hat{i}_\alpha \\ \hat{i}_\beta \end{bmatrix} = -\frac{R_s}{L_s}\begin{bmatrix} \hat{i}_\alpha \\ \hat{i}_\beta \end{bmatrix} + \frac{1}{L_s}\begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix} - \frac{1}{L_s} \cdot k \cdot \text{sign}(\tilde{i}_{\alpha\beta}) \]
     這里的 \(k \cdot \text{sign}(\tilde{i}_{\alpha\beta})\) 就是滑模控制項。sign函數是一個符號函數（正數為1，負數為-1），它產生一個劇烈切換的控制作用。理論上，這個切換項的等效輸出會逼近真實的反電動勢BEMF。
  4. 提取BEMF：sign函數的輸出是一個高頻的方波狀信號，包含了大量噪聲（即“抖振”）。為了提取出平滑的BEMF估計值，因此，我們不能直接用它，而是將其通過一個低通濾波器（Low-Pass Filter, LPF），濾波后的輸出就是我們對BEMF的估計值 \(\hat{E}_{\alpha\beta}\)。

• SMO的優缺點：

  • 優點：對參數變化不敏感，魯棒性極強，算法實現相對簡單。
  • 缺點：存在固有的“抖振（Chattering）”問題，即sign函數的高頻切換會導致估計出的BEMF含有紋波，需要仔細設計LPF來平衡濾波效果和相位延遲。

• C偽代碼實現思路:

  // SMO 偽代碼
  // error_i_alpha = i_alpha_estimated - i_alpha_measured;
  // sign_out_alpha = (error_i_alpha > 0) ? 1.0f : -1.0f;
  // smo_output_alpha = smo_gain * sign_out_alpha;
  
  // 更新估算的電流 (省略了其他項)
  // di_alpha_dt = ... - (1/Ls) * smo_output_alpha;
  // i_alpha_estimated += di_alpha_dt * Ts;
  
  // 將滑模輸出通過低通濾波器，得到BEMF估計值
  // E_alpha_estimated = LPF_Update(&bemf_lpf_alpha, smo_output_alpha);
  // E_beta_estimated = LPF_Update(&bemf_lpf_beta, smo_output_beta);
  
  // 從BEMF中解碼角度和速度
  // angle = atan2(-E_alpha_estimated, E_beta_estimated);
  // speed = sqrt(E_alpha_estimated^2 + E_beta_estimated^2) / PSI_F;
  

5.3.2 龍伯格觀測器（Luenberger Observer）

龍伯格觀測器是一種線性的狀態觀測器，相比SMO，它更“溫和”，沒有抖振問題。

• 核心思想：它將觀測器誤差的修正項設計為與誤差本身成線性比例關系，而不是像SMO那樣使用非線性的sign函數。

  \[\frac{d\hat{\mathbf{x}}}{dt} = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}} + \mathbf{B}\mathbf{u} + \mathbf{L}(\mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}}) \]

  這里的 \(\mathbf{L}\) 就是觀測器增益矩陣。設計的核心就是如何選擇合適的 \(\mathbf{L}\)，使得誤差動態 \((\dot{\mathbf{e}} = (\mathbf{A-LC})\mathbf{e})\) 的極點位于左半平面且收斂速度足夠快。這個設計過程可以通過極點配置來完成，與我們設計PID控制器的思想非常相似。

• 優點：輸出平滑，沒有抖振，理論分析更成熟。

• 缺點：對電機參數 (\(R_s, L_s\)) 的準確性依賴較高，參數失配時性能會下降。

5.3.3 模型參考自適應系統（MRAS）

MRAS是另一種非常流行的無感方案。

• 核心思想：它包含兩個模型。

  1. 參考模型：不包含待估計參數（如速度）的電機模型。通常是電機的電壓模型。
  2. 可調模型：包含待估計參數的電機模型。通常是電機的電流模型。
     這兩個模型都接收相同的輸入。MRAS的目標是，通過一個自適應律，不斷調整可調模型中的參數（即估計的速度 \(\hat{\omega}_e\)），使得兩個模型的輸出誤差趨近于零。

  常用的Popov超穩定性理論可以推導出這個自適應律，通常形式為一個PI控制器。也就是說，MRAS的速度估計算法，最終可以簡化為一個結構簡單的PI控制器，其輸入是兩個模型輸出的誤差。

• 優點：結構清晰，物理意義明確，實現形式可以簡化為一個PI控制器，易于理解和調試。

• 缺點：同樣對電機參數敏感。

5.4 無感控制的“阿喀琉斯之踵”

所有基于BEMF的無感方案，都有一個共同的、致命的弱點：
在零速和極低速區域，BEMF非常微弱，甚至為零！
因為 \(|\vec{E}| = \omega_e \psi_f\)，當 \(\omega_e \to 0\) 時，BEMF會淹沒在噪聲和電壓測量的誤差中，無法被可靠地觀測。這就是為什么大多數無感FOC系統在啟動和極低速運行時性能不佳，甚至無法穩定運行。

5.5 低速與靜止時的解決方案：高頻注入法（HFI）

為了解決低速問題，工程師們開發了不依賴BEMF的高頻注入法。

• 核心思想：利用PMSM的凸極特性。即使是表貼式電機，由于磁路飽和等原因，其電感在空間上也并非完全均勻，存在微小的差異，這種差異稱為“凸極效應”。

• 其機理如下：

  1. 注入高頻信號：在估算的d軸方向注入一個高頻的正弦電壓信號。該信號頻率遠高于電機轉速，不產生平均轉矩。
  2. 測量電流響應：由于電機存在凸極性（\(L_d \neq L_q\)），定子電感會隨轉子位置變化。注入的高頻電壓所產生的高頻電流，其幅值會受到當前位置電感的影響。
  3. 解調位置誤差：通過對響應電流進行解調，可以提取出一個與估計位置和真實位置之間的誤差相關的信號。當估計位置準確時，該誤差信號為零。
  4. 鎖相環跟蹤：將此位置誤差信號輸入一個鎖相環（PLL），即可持續地跟蹤并估計出轉子的精確位置。

  HFI在d軸方向（或一個估計的d軸方向）注入一個高頻的正弦電壓或方波信號。這個信號本身不產生平均轉矩。

  • 如果注入方向與真實的d軸（磁阻最小的方向）一致，那么響應電流中的高頻分量幅值最大。
  • 如果注入方向與真實的q軸（磁阻最大的方向）一致，那么響應電流中的高頻分量幅值最小。

  通過解調響應電流中的高頻分量，就可以得到一個與轉子位置誤差相關的信號，然后通過一個鎖相環（PLL）或觀測器來跟蹤這個誤差信號，從而估計出轉子的真實位置。

• HFI的優缺點：

  • 優點：能在零速和極低速下精確估計轉子位置，彌補了BEMF法的盲區。
  • 缺點：會引入額外的電流諧波，產生輕微的噪聲和振動；算法實現更復雜；需要電機具有一定的凸極效應。

5.6 混合策略：實用的全速域無感控制

在實際工程應用中，單一算法無法覆蓋全部工況。最實用的方案是采用混合策略：

1. 零速和低速區 (如 < 5% 額定轉速)：采用高頻注入法進行位置估計。電機啟動時，先用HFI獲得初始位置，然后平穩啟動。
2. 中高速區 (如 > 5% 額定轉速)：當速度起來后，BEMF信號變得足夠強，此時平滑地切換到滑模觀測器（SMO）或MRAS。
3. 切換區域：設計平滑的切換邏輯，例如使用加權平均，以避免在切換點產生轉矩突變。

通過這種混合策略，就可以實現從零速到高速的全范圍、高性能無感FOC控制。

第六章：現代控制的前沿——模型預測控制（MPC）簡介

如果說PID是經驗豐富的工匠，LQR是運籌帷幄的數學家，那么模型預測控制（Model Predictive Control, MPC）就是一位能夠“預見未來”的戰略家。MPC是目前控制理論領域最前沿、最具活力的分支之一，它將模型預測、滾動優化和反饋校正三個核心思想完美融合，特別擅長處理帶有復雜約束的多變量優化問題。

6.1 MPC的革命性思想

傳統控制器（如PID）的決策是“反應式”的：它根據當前的誤差來決定當前的控制輸出。MPC則完全不同，它的決策是“前瞻性”的：

MPC在每一個控制周期，都會基于當前狀態，向前預測未來一段時間（預測時域 \(N_p\)）內系統的行為，并計算出一系列控制序列，使得這段未來時間內的某個性能指標（代價函數）達到最優。然后，它只將這個最優控制序列的第一個元素作用于系統。在下一個周期，它會根據新的測量值，重復整個“預測-優化-執行”的過程。

這種“滾動優化”的方式，使得MPC具備了兩個無與倫比的優勢：

1. 預測能力：MPC像下棋一樣，會“預想”好幾步。它能預見到未來的控制行為可能導致的問題（如超調、違反約束），并提前在當前做出調整來規避。
2. 處理約束的天然優勢：在電機控制中，我們時刻面臨各種物理約束，如最大允許電流、最大輸出電壓（SVPWM的六邊形邊界）、最大允許轉速等。傳統方法處理約束很棘手（例如PID的抗飽和），而約束可以直接作為優化問題的邊界條件被內生地包含在MPC的設計中。MPC在計算最優控制序列時，會自動確保整個序列都不會違反這些約束。

6.2 MPC工作原理圖解

讓我們通過一張圖來理解MPC在一個控制周期內的“心路歷程”：

分步講解：

1. 測量：在時刻\(k\)，MPC首先測量或觀測到系統的當前狀態 \(\mathbf{x}(k)\)。
2. 預測：MPC使用內部的系統模型（如狀態空間模型），從 \(\mathbf{x}(k)\) 出發，向前預測未來\(N_p\)個時間步長的系統狀態軌跡。這個預測過程依賴于一個假設的未來控制輸入序列 \(\mathbf{U}(k) = [\mathbf{u}(k|k), \dots, \mathbf{u}(k+N_p-1|k)]\)。
3. 優化：MPC的核心是一個在線優化求解器。它的目標是找到一個最優的控制序列 \(\mathbf{U}^*(k)\)，使得一個類似于LQR的代價函數 \(J\) 最小。
   \[J = \sum_{i=0}^{N_p-1} (\mathbf{x}(k+i|k)^T \mathbf{Q} \mathbf{x}(k+i|k) + \mathbf{u}(k+i|k)^T \mathbf{R} \mathbf{u}(k+i|k)) \]
   最關鍵的是，這個優化問題是在滿足一系列約束條件（Inequality Constraints）下進行的，例如：
   • \(I_{min} \le i_q(k+i|k) \le I_{max}\)
   • \(V_{d,q}^2 \le V_{max}^2\)
4. 執行：優化器計算出最優控制序列 \(\mathbf{U}^*(k)\) 后，MPC只將這個序列的第一個元素 \(\mathbf{u}^*(k|k)\) 發送給執行機構（如SVPWM模塊）。它拋棄了序列中后面的所有元素。
5. 滾動：在下一個時刻\(k+1\)，系統到達了一個新的狀態 \(\mathbf{x}(k+1)\)。MPC會從這個新的起點開始，完全重復上述的測量、預測、優化、執行過程。

這種“滾動時域”的策略使得MPC具備了反饋校正的能力。即使模型不準或存在外部擾動，MPC也能在下一個周期根據新的測量值來修正自己的規劃。

6.3 MPC在PMSM FOC中的應用

MPC可以直接用于設計電流控制器。

• 模型：使用我們在LQR章節中建立的電流環狀態空間模型。
• 代價函數：同樣使用二次型代價函數，通過調整Q和R矩陣來權衡電流跟蹤性能和電壓消耗。
• 約束：
  • 電流約束：\(|i_d| \le I_{max}\), \(|i_q| \le I_{max}\)。這可以保護電機不過流。
  • 電壓約束：\(v_d^2 + v_q^2 \le (\frac{V_{dc}}{\sqrt{3}})^2\)。這個約束直接對應了SVPWM模塊能夠合成的最大電壓圓形區域，確保了MPC輸出的電壓指令是可實現的。這是MPC相比PID/LQR的一個巨大優勢。

6.4 嵌入式實現的挑戰與對策

MPC的思想非常優美，但其在嵌入式領域的應用一直受限于一個巨大的挑戰：計算量。

挑戰： 在每個控制周期（通常只有幾十到一百微秒），MCU需要求解一個帶約束的二次規劃（QP）問題。對于一個標準的QP求解器，這個計算量對于大多數MCU來說是無法承受的。

為了讓MPC在嵌入式FOC中落地，研究者們提出了幾種行之有效的對策。

對策一：顯式MPC (Explicit MPC, eMPC)

• 思想：eMPC通過一個巧妙的轉換，將在線優化問題轉化為離線計算。在離線階段，利用強大的PC，預先求解在整個狀態空間中所有可能的初始狀態下對應的最優控制律。這個解不是一個單一的反饋矩陣（像LQR），而是一個分段仿射函數（Piecewise Affine Function）。
  簡單來說，eMPC將狀態空間劃分成了很多個小的多胞體區域。在每個區域內，最優控制律 \(\mathbf{u}^* = \mathbf{K}_i \mathbf{x} + \mathbf{m}_i\) 是一個簡單的線性函數。
• 在線實現：在線階段，MCU的工作就變得非常簡單：
  1. 獲取當前狀態 \(\mathbf{x}(k)\)。
  2. 通過一個高效的“搜索樹”算法，判斷 \(\mathbf{x}(k)\) 落在了哪個預先計算好的區域。
  3. 應用該區域對應的線性控制律 \(\mathbf{u}^* = \mathbf{K}_i \mathbf{x} + \mathbf{m}_i\) 計算輸出。
• eMPC偽代碼/概念代碼：

  // 離線計算好的數據結構 (存儲在Flash中)
  typedef struct {
      Matrix H; // 用于定義區域邊界
      Vector g;
      Matrix K; // 該區域的反饋增益
      Vector m; // 該區域的偏移量
  } Region_t;
  
  const Region_t lookup_table[NUM_REGIONS] = { ... }; // 巨大的查找表
  
  // 在線計算
  void eMPC_Controller_Update(void) {
      // 1. 獲取當前狀態x
      get_current_state(&x);
      
      // 2. 搜索x所在的區域 (這是eMPC在線計算的核心)
      int region_idx = find_region_for_state(&x, lookup_table);
      
      // 3. 應用分段線性控制律
      Matrix K = lookup_table[region_idx].K;
      Vector m = lookup_table[region_idx].m;
      // u = K*x + m
      calculate_output(&u, K, x, m);
      
      // 4. 發送控制指令u
      apply_control(&u);
  }
  

• 優缺點：
  • 優點：在線計算量極低，可以媲美PID/LQR。
  • 缺點：離線計算非常復雜，需要專門的工具箱（如MATLAB的MPC Toolbox）；當系統狀態變量或約束增多時，劃分的區域數量會指數級爆炸，導致所需存儲空間（Flash）急劇增大，這被稱為“維數災難”。

對策二：有限控制集MPC (Finite Control Set MPC, FCS-MPC)

• 思想：FCS-MPC是專門針對電力電子變換器（如逆變器）的一種特殊MPC。它放棄了求解連續的電壓指令，而是利用了逆變器只有有限個開關狀態這一離散特性。
  一個三相逆變器，每個橋臂有上下兩個開關，但狀態互補，所以有 \(2^3 = 8\) 種可能的開關組合。其中兩種是零矢量（所有上管或下管導通），剩下6種是有效電壓矢量。
  FCS-MPC的思路變得異常直接：
  1. 在每個周期，遍歷所有這8種可能的開關狀態。
  2. 對于每一種開關狀態，利用模型預測下一個周期的電流會變成什么樣。
  3. 計算每種預測結果對應的代價函數（如 \((i_{d\_ref} - i_{d\_pred})^2 + (i_{q\_ref} - i_{q\_pred})^2\)）。
  4. 選擇那個使代價函數最小的開關狀態，作為本周期的輸出，直接作用于逆變器。
• 優缺點：
  • 優點：概念極其簡單，無需PWM調制器，無需復雜的在線QP求解器，約束處理直觀，動態響應極快。
  • 缺點：開關頻率不固定，會導致較寬的諧波頻譜和較大的轉矩脈動；性能高度依賴模型精度。

FCS-MPC因其簡單和快速的特性，在學術研究和某些高端工業應用中獲得了極大的關注。

第七章：總結與展望

經過前面六章的系統性學習，我們已經從經典的PID控制，走過了基于模型的參數整定，探索了狀態觀測器與無感技術的奧秘，并一窺了LQR和MPC等現代控制理論的強大能力。在本章，我們將退后一步，從一個更高的維度審視這些技術，幫助您在面對實際工程項目時，做出最明智的技術選型。

7.1 最終對比：四大控制策略的“英雄榜”

下表從多個工程維度，對我們在指南中深入探討的四種核心控制策略（PID+前饋、LQR、eMPC、FCS-MPC）進行了橫向對比。

7.2 技術選型路線圖

面對一個新項目，應該如何選擇合適的控制策略？這里提供一個決策流程圖作為參考。

決策建議總結：

• 永遠從PID開始：對于90%以上的應用，一個經過良好辨識和設計的PID+前饋控制器，其性能已經足夠優秀。它應該永遠是你的基準（Benchmark）。
• 當PID遇到瓶頸時：如果項目對能效和多變量協調有更高要求，LQR是一個自然的進階選擇。如果項目的核心痛點是處理復雜的約束，那么MPC家族才真正進入視野。
• 謹慎選擇MPC：MPC非常強大，但也帶來了巨大的復雜性。選擇它之前，請確保你真的需要它提供的獨特優勢（主要是約束處理能力），并評估你的團隊是否有能力駕馭其設計和實現的復雜性。

7.3 未來展望

電機控制領域的技術仍在不斷演進。除了我們討論的策略，還有幾個方向值得關注：

• 自適應控制（Adaptive Control）：能夠在線辨識系統參數變化（如負載變化、電機溫升），并自動調整控制器增益，以始終保持最優性能。
• 無傳感器控制的深化：針對HFI的噪聲問題和低速性能的進一步優化，是無感技術研究的熱點。
• 基于學習的控制（Learning-Based Control）：利用神經網絡、強化學習等AI技術，讓控制器通過與環境的交互，“學習”出最優的控制策略。這為解決高度非線性、模型未知的復雜系統提供了全新的可能性，但其在嵌入式系統的落地和安全性驗證仍處于早期階段。

電機控制是一門理論與實踐緊密結合的藝術。精通數學模型是基礎，洞悉硬件特性是關鍵，而將兩者完美融合在簡潔、魯棒的代碼中，則是每一位卓越嵌入式工程師不懈的追求。希望這本指南能夠成為您在這條探索之路上，一本值得信賴的參考手冊。

附錄

A. 關鍵術語表

• FOC (Field-Oriented Control)：磁場定向控制，一種通過坐標變換實現交流電機解耦控制的高性能技術。
• PMSM (Permanent Magnet Synchronous Motor)：永磁同步電機。
• Clarke/Park變換：FOC中用于坐標系變換的數學工具。
• SVPWM (Space Vector Pulse Width Modulation)：空間矢量脈寬調制，一種高效的PWM生成技術。
• BEMF (Back Electromotive Force)：反電動勢，電機旋轉時在定子繞組中感應出的電壓，與速度和位置相關。
• 系統辨識 (System Identification)：通過實驗數據來確定系統數學模型參數的過程。
• 帶寬 (Bandwidth)：衡量系統對快速變化信號的跟蹤能力。
• Anti-Windup (積分抗飽和)：防止PID控制器在輸出飽和時積分項過度累積的技術。
• 前饋 (Feedforward)：基于模型和參考指令，提前預測并補償系統所需控制量的一種控制策略。
• 狀態觀測器 (State Observer)：一種利用可測量信號來估計系統內部不可測量狀態的算法。
• SMO (Sliding Mode Observer)：滑模觀測器，一種非常魯棒的非線性觀測器。
• HFI (High-Frequency Injection)：高頻注入法，一種用于零/低速無感控制的技術。
• LQR (Linear-Quadratic Regulator)：線性二次調節器，一種最優控制方法。
• MPC (Model Predictive Control)：模型預測控制，一種基于模型預測和滾動優化的先進控制方法。

B. 參考文獻

1. 《Motor Control: A T-Shaped Approach》 - 一本非常注重實踐和代碼實現的電機控制書籍。
2. 《Control System Design Guide》 - by George Ellis，深入講解了控制系統設計的許多工程細節。
3. MATLAB & Simulink Documentation - MathWorks官方文檔，是學習建模、辨識和控制器設計的權威資料。

C. 實用調試技巧（Troubleshooting）

【忠告】 調試電機控制系統的靈魂，在于“眼見為實”。你必須找到一種方法，能夠實時地觀察到MCU內部關鍵變量的波形。沒有這個能力，調試無異于盲人摸象。

必備工具：

• 實時數據繪圖工具：如SEGGER J-Scope、Serial Studio、或者自己用Python/MATLAB編寫的串口繪圖上位機。它們能將MCU通過串口或SWD發送的數據實時繪制成波形。
• 串口工具：如 SSCOM、XCOM，或者使用云之彼端在線串口工具。能通過串口發送指令控制 MCU。

典型“疑難雜癥”及排查思路：

• 問題：電機不轉，只有固定角度的嘯叫或振動。

  • 90%的可能：相序錯誤或編碼器方向錯誤。
  • 排查：
    1. 檢查相序：嘗試交換任意兩根電機線（如U和V）。如果能轉了，說明相序正確。
    2. 檢查編碼器方向：給一個正的速度指令，觀察編碼器讀數是否單調增加。如果減少，說明方向反了，在代碼中將速度反饋取反。
    3. 檢查初始位置角校準：確認第1.5節的校準程序是否正確執行。用調試器觀察校準后的\(\theta_e\)是否穩定在一個值。

• 問題：低速抖動，不平穩，有“頓挫感”。

  • 可能原因：編碼器分辨率低、電流采樣噪聲大、死區補償不當。
  • 排查：
    1. 觀察電流波形：在J-Scope等工具中同時觀察\(I_q\)的參考值\(I_{q\_ref}\)和反饋值\(I_{q\_fb}\)。如果\(I_{q\_fb}\)波形毛刺很多，說明電流采樣噪聲大。回顧第零章，檢查ADC同步采樣設置和硬件濾波。
    2. 檢查編碼器：低分辨率的編碼器在低速時無法提供平滑的角度變化。這是硬件瓶頸。
    3. 死區補償：逆變器的死區會引起輸出電壓畸變，在低速時影響尤其嚴重。需要加入死區補償算法。

• 問題：高速失步、振蕩或“飛車”。

  • 可能原因：控制環路參數不匹配、母線電壓不足、觀測器發散。
  • 排查：
    1. 觀察速度環：同時觀察\(\omega_{ref}\)和\(\omega_{fb}\)。如果\(\omega_{fb}\)振蕩嚴重，可能是速度環增益過高或帶寬設計不合理。嘗試根據第三章的公式重新計算參數。
    2. 觀察電壓指令：觀察\(V_q\)和\(V_d\)的輸出。如果它們在高速時頻繁達到飽和（被鉗位在最大值），說明當前母線電壓已不足以驅動電機到更高轉速，這是物理極限。
    3. 無感控制：如果是無感模式，高速振蕩很可能是觀測器參數不佳或發生發散。需要仔細調整觀測器增益，并觀察估計的BEMF波形是否平滑。