復(fù)矩陣的QR分解

定義：QR分解

設(shè) \(A\) 是一個 \(m \times n\) 復(fù)矩陣，且 \(m \geq n\)。如果存在一個 \(m \times r\) 酉矩陣 \(Q\) 和一個 \(r \times n\) 上梯形矩陣 \(R\)，使得

則稱此分解為 \(A\) 的 QR 分解，其中 \(r=\mathrm{rank}(A)\)。（當(dāng) \(Q\) 是 \(m \times n\) 矩陣且滿足 \(Q^*Q = I_n\) 時，稱為經(jīng)濟(jì)型 QR 分解。）

定理：列滿秩矩陣QR分解的存在性與唯一性

任意列滿秩復(fù)矩陣 \(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\) 都存在一個 \(m \times n\) 酉矩陣 \(Q\) 和一個 \(n \times n\) 上三角矩陣 \(R\)，使得

如果進(jìn)一步要求 \(R\) 的對角元為正實數(shù)，則該分解是唯一的。

證明：存在性

我們使用 Gram-Schmidt 正交化過程來構(gòu)造證明。設(shè) \(A = [a_1, a_2, \dots, a_n]\)，其中 \(a_i \in \mathbb{C}^m\) 是 \(A\) 的列向量。

1. 正交化過程
   定義：

   • \(u_1 = a_1\)
   • \(q_1 = \dfrac{u_1}{\|u_1\|}\)
   • 對于 \(k = 2, 3, \dots, n\)：
     \[u_k = a_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle a_k, q_j \rangle q_j \]
     \[q_k = \dfrac{u_k}{\|u_k\|} \quad (\text{如果 } u_k \neq 0) \]

   其中 \(\langle x, y \rangle = y^\dagger x\) 是復(fù)向量空間中的內(nèi)積。

2. 構(gòu)造 QR 分解
   令 \(Q = [q_1, q_2, \dots, q_n]\)，則 \(Q^\dagger Q = I_n\)。
   定義上三角矩陣 \(R\) 的元素為：

   \[r_{ij} = \begin{cases} \langle a_j, q_i \rangle, & \text{如果 } i \leq j \\ 0, & \text{如果 } i > j \end{cases}\]

   特別地，\(r_{kk} = \|u_k\|\)。

3. 驗證分解
   對于每個 \(k = 1, 2, \dots, n\)，有：

   \[a_k = \sum_{i=1}^k r_{ik}q_i = \sum_{i=1}^k \langle a_k, q_i \rangle q_i \]

   因此：

   \[A = [a_1, a_2, \dots, a_n] = [q_1, q_2, \dots, q_n]R = QR \]

證明：唯一性

假設(shè)有兩個不同的分解 \(A = Q_1 R_1 = Q_2 R_2\)，那么：

• 左邊是酉矩陣的乘積，仍然是酉矩陣；
• 右邊是兩個上三角矩陣的乘積，仍然是上三角矩陣；
• 一個既是酉矩陣又是上三角矩陣的矩陣必須是對角矩陣；
• 由于 \(R_1, R_2\) 對角線都是正實數(shù)，且乘積為單位矩陣，這個對角矩陣只能是單位矩陣。

因此 \(Q_1 = Q_2, R_1 = R_2\)

定理：一般的復(fù)矩陣的QR分解

對于任意復(fù)矩陣 \(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\)，存在一個 \(m \times r\) 酉矩陣 \(Q\)，一個 \(r \times n\) 上梯形矩陣 \(R\)，一個置換矩陣 \(P \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，使得

其中，\(r = \mathrm{rank}(A) \leq n\)。

證明

我們用置換矩陣 \(P \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 作用于 \(A\) 的列向量組，使得 \(AP\) 的前 \(r\) 個向量線性無關(guān)。不妨設(shè) \(AP = [a_1, a_2, \dots, a_n]\)，則 \(a_1, \dots, a_r\) 線性無關(guān)。

設(shè) \([a_1, \dots, a_r] = A_r \in \mathbb{C}^{m \times r}\) 列滿秩，則根據(jù)上一個定理，存在一個 \(m \times r\) 酉矩陣 \(Q_r\) 和一個 \(r \times r\) 上三角矩陣 \(R_r\)，使得

對于 \(k = r + 1, \dots, n\)，存在 \(x_k \in \mathbb{C}^r\) 使得 \(a_k = A_r x_k = Q_r R_r x_k\)，記 \(y_k = R_r x_k \in \mathbb{C}^r\)，令 \(R_r^\prime = [y_{r+1}, \dots, y_n] \in \mathbb{C}^{r \times (n-r)}\)，則

其中 \(R\) 為上梯形矩陣。

注記

上面的定理可以進(jìn)一步擴(kuò)充：\(Q\) 的列向量可以擴(kuò)充為一組單位正交基得到 \(\overline{Q} = \begin{bmatrix} Q & Q_{\perp} \end{bmatrix}\) 為 \(m \times m\) 酉矩陣，于是相應(yīng)的 \(R\) 變成了

因此，

這成為完全 QR 分解，但是這種分解是不唯一的。

示例：秩虧缺矩陣的QR分解

考慮秩為1的矩陣：

一種可能的 QR 分解為：

另一種分解為：

兩者都滿足 \(A = QR\)，說明分解不唯一。

注記

完全 QR 分解不唯一的根本原因是：\(Q_{\perp}\) 不唯一，其列向量可以隨意換位置。