Hermite矩陣的酉對角化（譜定理）

基本定義

定義（Hermite矩陣）
設 $ A \in \mathbb{C}^{n \times n} $ 為復矩陣，若其共軛轉置等于自身，即

則稱 $ A $ 為 Hermite 矩陣。

定義（酉矩陣）
設 $ U \in \mathbb{C}^{n \times n} $ 為復矩陣，若滿足

其中 $ I $ 為 $ n \times n $ 單位矩陣，則稱 $ U $ 為酉矩陣。酉矩陣全體記為 $ \mathcal{U}_n $，酉矩陣的列向量構成 $ \mathbb{C}^n $ 的標準正交基（即列向量間內積為 0，自身內積為 1）。

注
設 $ U \in \mathbb{C}^{m \times n} $，若滿足

我們記滿足上述性質的全體 $ U \in \mathbb{C}^{m \times n} $ 為 $ \mathrm{St}(m,n) $（Stiefel 流形），其中 $ m \geq n $，相當于一種非方陣的酉矩陣。注意這里一定要 $ m \geq n $，否則 $ U^\dagger U = I $ 不可能成立。

關鍵性質

引理（Hermite 矩陣的特征值為實數）
設 $ A $ 為 Hermite 矩陣，$ \lambda $ 為其任一特征值，$ x \neq 0 $ 為對應的特征向量（即 $ Ax = \lambda x $），則 $ \lambda \in \mathbb{R} $。

證明
對等式 $ Ax = \lambda x $ 兩邊取共軛轉置，得：

因 $ A $ 是 Hermite 矩陣（$ A^\dagger = A $），故：

兩邊右乘 $ x $，結合 $ Ax = \lambda x $，得：

因此 $ \lambda x^\dagger x = \overline{\lambda} x^\dagger x $。由于 $ x \neq 0 $，內積 $ x^\dagger x = |x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2 > 0 $，故 $ \lambda = \overline{\lambda} $，即 $ \lambda $ 為實數。

引理（不同特征值的特征向量正交）
設 $ A $ 為 Hermite 矩陣，$ \lambda \neq \mu $ 為其兩個互異特征值，$ x, y $ 為對應的特征向量（\(Ax = \lambda x\), $ Ay = \mu y $），則 $ x $ 與 $ y $ 正交，即 $ x^\dagger y = 0 $。

證明
由 $ Ax = \lambda x $，兩邊左乘 $ y^\dagger $ 得：

左邊可改寫為 $ (A y)^\dagger x $（因 $ y^\dagger A = (A y)^\dagger $），結合 $ A y = \mu y $ 及 $ \mu \in \mathbb{R} $（前一引理），得：

因此 $ \mu y^\dagger x = \lambda y^\dagger x $，即 $ (\mu - \lambda) y^\dagger x = 0 $。因 $ \lambda \neq \mu $，故 $ y^\dagger x = 0 $，即 $ x $ 與 $ y $ 正交。

注
一般的復矩陣只能得到不同特征值對應的特征向量線性無關，而 Hermite 矩陣可以得到相互正交，這是一個更強的結論（因為正交一定線性無關）。

引理（特征向量的正交補空間是不變子空間）
設 $ A $ 為 Hermite 矩陣，$ \lambda $ 為其特征值，$ x $ 為單位特征向量（$ x^\dagger x = 1 $），記 $ M = \text{span}{x} $，其正交補空間為：

則 $ M^\perp $ 是 $ A $ 的不變子空間（即 $ y \in M^\perp \implies A y \in M^\perp $）。

證明
對任意 $ y \in M^\perp $，需證 $ (A y)^\dagger x = 0 $：

故 $ A y \in M^\perp $，即 $ M^\perp $ 是不變子空間。

譜定理的證明

定理（Hermite 矩陣的譜定理）
對任意 $ n \times n $ Hermite 矩陣 $ A $，存在 $ n \times n $ 酉矩陣 $ U $ 和實對角矩陣 $ \Lambda $，使得：

其中 $ \Lambda $ 的對角元為 $ A $ 的特征值，$ U $ 的列向量為對應的特征向量（標準正交）。

證明
用數學歸納法證明：

• （$ n = 1 $）：
  1 階 Hermite 矩陣為實數 $ a $（滿足 $ \overline{a} = a $）。取酉矩陣 $ U = [1] $，則 $ U^\dagger A U = [a] $ 為對角矩陣，結論成立。

• （假設 $ n-1 $ 階成立，證明 $ n $ 階成立）：
  設 $ A $ 為 $ n \times n $ Hermite 矩陣，由代數基本定理，$ A $ 存在特征值 $ \lambda_1 \in \mathbb{R} $（前一引理）和單位特征向量 $ x_1 \in \mathbb{C}^n \(（\) x_1^\dagger x_1 = 1 $）。

  記 $ M = \text{span}{x_1} $，其正交補 $ M^\perp $ 為 $ n-1 $ 維子空間（由“特征向量的正交補空間是不變子空間”引理）。$ A $ 在 $ M^\perp $ 上的限制 $ A|_{M^\perp} $ 是 $ n-1 $ 階 Hermite 矩陣（因 $ M^\perp $ 是不變子空間且 $ A^\dagger = A $）。

  由歸納假設，存在 $ n-1 $ 階酉矩陣 $ V $（列向量為 $ M^\perp $ 的標準正交基），使得：

  \[V^\dagger (A|_{M^\perp}) V = \Lambda' \quad (\Lambda' \text{ 為 } n-1 \times n-1 \text{ 實對角矩陣}) \]

  構造 $ n \times n $ 矩陣 $ U = [x_1 \quad V'] $，其中 $ V' $ 是將 $ V $ 的列嵌入 $ \mathbb{C}^n $ 得到的矩陣（列向量屬于 $ M^\perp $）。因 $ x_1 $ 與 $ V' $ 的列正交且均為單位向量，故 $ U^\dagger U = I $，即 $ U $ 是酉矩陣。

  計算 $ U^\dagger A U $：

  \[U^\dagger A U = \begin{pmatrix} x_1^\dagger \\ V'^\dagger \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x_1 & V' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^\dagger A x_1 & x_1^\dagger A V' \\ V'^\dagger A x_1 & V'^\dagger A V' \end{pmatrix} \]
  • 左上角：$ x_1^\dagger A x_1 = \lambda_1 x_1^\dagger x_1 = \lambda_1 $；
  • 右上角與左下角：因 $ A V' \subset M^\perp $，故 $ x_1^\dagger A V' = 0 $，同理 $ V'^\dagger A x_1 = 0 $；
  • 右下角：$ V'^\dagger A V' = V^\dagger (A|_{M^\perp}) V = \Lambda' $。

  因此：

  \[U^\dagger A U = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \Lambda' \end{pmatrix} = \Lambda \]

  其中 $ \Lambda $ 為實對角矩陣。由歸納法，結論對所有 $ n \geq 1 $ 成立。