P5824 十二重計數法

\(\text{I}\)：球之間互不相同，盒子之間互不相同。

\(\text{II}\)：球之間互不相同，盒子之間互不相同，每個盒子至多裝一個球。

選出 n 個要放球的盒子，然后給乘上 n 的排列 \(\binom mnn!\).

\(\text{III}\)：球之間互不相同，盒子之間互不相同，每個盒子至少裝一個球。

斯特林數，然后給盒子標號 \({n\brace m}m!\)

\(\text{IV}\)：球之間互不相同，盒子全部相同。

枚舉非空盒子數量 \(\sum_i{n\brace i}\)

\(\text{V}\)：球之間互不相同，盒子全部相同，每個盒子至多裝一個球。

依次給盒子放數，每個數都恰好在一個盒子里，居然就是 \([n\le m]\).

\(\text{VI}\)：球之間互不相同，盒子全部相同，每個盒子至少裝一個球。

\(n\brace m\)

\(\text{VII}\)：球全部相同，盒子之間互不相同。

（最簡單的東西最容易搞忘qwq）插板法 \(\binom {n+m-1}{m-1}\)

\(\text{VIII}\)：球全部相同，盒子之間互不相同，每個盒子至多裝一個球。

選 n 個盒子放球 \(\binom nm\)

\(\text{IX}\)：球全部相同，盒子之間互不相同，每個盒子至少裝一個球。

還是插板法 \(\binom {n-1}{m-1}\)，因為沒有空，前后兩個位置不能插板，不要寫成 \(n+1\) 了

\(\text{X}\)：球全部相同，盒子全部相同。

拆分數，用 Ferrers 轉化后有 \(\exp\sum_k^m\sum_{i=1}\dfrac {x^{ik}}i\)，詳見

\(\text{XI}\)：球全部相同，盒子全部相同，每個盒子至多裝一個球。

竟然球相不相同是一樣的！\([n\le m]\).

\(\text{XII}\)：球全部相同，盒子全部相同，每個盒子至少裝一個球。

兩個理解，

1. 至多 m 個個數減去至多 m - 1 個
2. 每個盒子先放一個球，就是 n - m 個球的 \(\text{X}\) 題

感覺這個沒有寫代碼的必要性，咕咕咕。