在數(shù)學(xué)可視化領(lǐng)域，參數(shù)方程提供了一種靈活描述曲線的方式。

Manim庫中的ParametricFunction類正是為此而生，它允許用戶通過參數(shù)方程創(chuàng)建各種復(fù)雜的二維和三維曲線。

ParametricFunction的核心作用是將數(shù)學(xué)參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為可視化的曲線。與普通函數(shù)不同，參數(shù)方程使用獨(dú)立參數(shù)t表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)：

x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)

其典型應(yīng)用場景包括：

• 繪制無法用$ y=f(x) $顯式表示的曲線（如圓、橢圓）
• 創(chuàng)建隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)軌跡
• 可視化三維空間曲線（如螺旋線）
• 實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的幾何圖案（如心形線、星形線）

本文將詳細(xì)介紹ParametricFunction的作用、主要參數(shù)和方法，并通過動(dòng)畫示例來展示其強(qiáng)大的功能。

1. 主要參數(shù)

ParametricFunction主要參數(shù)有：

其中function參數(shù)是一個(gè)可調(diào)用的函數(shù)，形式為(lambda t: (x(t), y(t), z(t)))。

它定義了曲線的參數(shù)化形式，t是參數(shù)，x(t)、y(t)和z(t)分別是x、y和z坐標(biāo)隨參數(shù)t的變化函數(shù)。

2. 主要方法

ParametricFunction主要方法包括：

3. 使用示例

下面通過幾個(gè)典型的例子來演示如何使用ParametricFunction類。

3.1. 三維螺旋線

這個(gè)示例通過引入z軸參數(shù)，我們創(chuàng)建了一個(gè)優(yōu)美的三維螺旋結(jié)構(gòu)，展示ParametricFunction處理3D曲線的能力。

self.set_camera_orientation(phi=80 * DEGREES, theta=-60 * DEGREES)

curve = ParametricFunction(
    lambda u: (1.2 * np.cos(u), 1.2 * np.sin(u), u * 0.05),
    color=RED,
    t_range=(-3 * TAU, 5 * TAU, 0.01),
).set_shade_in_3d(True)
axes = ThreeDAxes(x_length=6, y_length=5, z_length=4)
self.add(axes, curve)
self.play(Create(curve))

3.2. 處理不連續(xù)函數(shù)

這個(gè)示例展示了如何處理不連續(xù)函數(shù)。

通過指定discontinuities參數(shù)，可以正確地繪制不連續(xù)函數(shù)的圖形，這對于展示數(shù)學(xué)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)非常有用。

# 定義不連續(xù)函數(shù)
def discontinuous_func(t):
    if t in [-2, 2]:
        return (t, 0, 0)  # 在不連續(xù)點(diǎn)返回一個(gè)默認(rèn)值
    return (t, (t**2 - 2) / (t**2 - 4), 0)

# 創(chuàng)建 ParametricFunction 對象
func = (
    ParametricFunction(
        discontinuous_func,
        t_range=(-3, 3),
        discontinuities=[-2, 2],  # 指定不連續(xù)點(diǎn)
        dt=0.1,  # 不連續(xù)點(diǎn)的容差
        color=GREEN,
    )
    .scale(0.5)
    .shift(DOWN)
)

# 添加到場景中
self.play(Create(func))

3.3. 跳動(dòng)的心形線

這個(gè)浪漫的示例展示了如何創(chuàng)建復(fù)雜的心形圖案，并通過縮放動(dòng)畫賦予其"跳動(dòng)"效果。

# 心形線參數(shù)方程
heart = (
    ParametricFunction(
        lambda t: np.array(
            [
                16 * np.sin(t) ** 3,
                13 * np.cos(t)
                - 5 * np.cos(2 * t)
                - 2 * np.cos(3 * t)
                - np.cos(4 * t),
                0,
            ]
        ),
        t_range=[0, TAU, 0.01],
        color=PINK,
    )
    .scale(0.1)
    .shift(UP * 2)
)

self.play(Create(heart, run_time=2))
self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)
self.play(heart.animate.scale(1.5), rate_func=there_and_back)
self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)

4. 附件

文中的代碼只是關(guān)鍵部分的截取，完整的代碼共享在網(wǎng)盤中（parametric_function.py），

下載地址: 完整代碼 (訪問密碼: 6872)