在聚類分析中，距離度量是核心概念之一，它決定了數據點之間的相似性或差異性，從而影響聚類結果的質量。

選擇合適的距離度量方法，就像為數據選擇合適的“觀察視角”，能夠幫助我們發現隱藏的模式結構。

本文將詳細介紹幾種常用的聚類距離度量方法，包括它們的原理、代碼實現，以及這些方法滿足的基本性質。

1. 常用距離度量

1.1. 閔可夫斯基距離（Minkowski Distance）

閔可夫斯基距離是一種通用的距離度量方法，它涵蓋了多種常見的距離計算方式。

其公式為：\(D(x,y)=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\)

• 當$ p=1 $時，它是曼哈頓距離（Manhattan Distance），適用于網格狀空間，例如城市街區。
• 當$ p=2 $時，它是歐幾里得距離（Euclidean Distance），是最常用的距離度量方式，適用于連續變量。
• 當$ p\to\infty $時，它趨近于切比雪夫距離（Chebyshev Distance），即各維度差的最大值。

基于scikit-learn庫計算這些距離非常簡單：

from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances
import numpy as np

# 示例數據
x = np.array([[1, 2, 3]])
y = np.array([[4, 5, 6]])

# 計算不同 p 值的閔可夫斯基距離
manhattan_distance = pairwise_distances(x, y, metric='manhattan')[0][0]
euclidean_distance = pairwise_distances(x, y, metric='euclidean')[0][0]
chebyshev_distance = pairwise_distances(x, y, metric='chebyshev')[0][0]

print("曼哈頓距離:", manhattan_distance)
print("歐幾里得距離:", euclidean_distance)
print("切比雪夫距離:", chebyshev_distance)

## 輸出結果：
'''
曼哈頓距離: 9.0
歐幾里得距離: 5.196152422706632
切比雪夫距離: 3.0
'''

1.2. 漢明距離（Hamming Distance）

漢明距離用于衡量兩個等長字符串之間的差異，即對應位置上不同字符的個數。

它常用于離散屬性的比較。

代碼示例如下：

from sklearn.metrics import hamming_loss

# 示例數據
x = np.array([0, 1, 1, 0])
y = np.array([1, 1, 0, 0])

# 計算漢明距離
hamming_distance = hamming_loss(x, y)
print("漢明距離:", hamming_distance)

## 輸出結果：
'''
漢明距離: 0.5
'''

1.3. 杰卡德距離（Jaccard Distance）

杰卡德距離用于衡量兩個集合之間的相似性，定義為兩個集合交集的大小與并集大小的比值的補數。

它適用于稀疏數據。

代碼示例如下：

from sklearn.metrics import jaccard_score

# 示例數據
x = np.array([0, 1, 1, 0])
y = np.array([1, 1, 0, 0])

# 計算杰卡德距離
jaccard_similarity = jaccard_score(x, y)
jaccard_distance = 1 - jaccard_similarity
print("杰卡德距離:", jaccard_distance)

## 輸出結果：
'''
杰卡德距離: 0.6666666666666667
'''

1.4. 余弦距離

余弦距離通過向量夾角衡量方向相似性，常用于文本分析。

它的公式是：$ cos(\theta)=\frac{X\cdot Y}{||X||\cdot ||Y||} $

實際使用常轉換為余弦距離：距離 = 1 - 余弦相似度。

代碼示例如下：

from sklearn.metrics.pairwise import cosine_distances
import numpy as np

# 示例數據
x = np.array([[1, 2, 3]])
y = np.array([[4, 5, 6]])

# 計算余弦距離
cosine_dist = cosine_distances(x, y)[0][0]

print("余弦距離:", cosine_dist)

## 輸出結果：
'''
余弦距離: 0.025368153802923787
'''

2. 距離度量的基本性質

距離度量方法通常需要滿足以下基本性質，以確保其合理性和有效性：

1. 非負性（Non-negativity）：距離必須是非負的，即$ D(x,y)\geq 0 $。

這意味著任意兩個點之間的距離不能為負值。

2. 同一性（Identity）：當且僅當兩個點相同時，距離為零，即\(D(x,y)=0\) 當且僅當\(x=y\) 。

這確保了距離能夠區分不同的點。

3. 對稱性（Symmetry）：距離是無方向的，即\(D(x,y)=D(y,x)\) 。

這意味著從點\(x\) 到點\(y\) 的距離與從點\(y\) 到點\(x\) 的距離相同。

4. 三角不等式（Triangle Inequality）：對于任意三個點\(x\) 、\(y\) 和\(z\) ，滿足\(D(x,z)\leq D(x,y)+D(y,z)\) 。

這確保了距離的合理性，即直接從\(x\) 到\(z\) 的距離不會超過經過\(y\) 的距離。

這些性質的意義在于，它們為距離度量提供了數學上的合理性，使得距離能夠正確地反映數據點之間的相似性或差異性。

3. 連續屬性與離散屬性的距離

對于連續屬性，常用的距離度量方法是歐幾里得距離和曼哈頓距離。

這些方法基于數值的差值來計算距離，適用于數值型數據。

• 歐幾里得距離：適用于多維空間中的連續數據，計算兩點之間的直線距離。
• 曼哈頓距離：適用于網格狀空間，計算兩點之間的“步數”距離。

對于離散屬性，常用的距離度量方法是漢明距離和杰卡德距離。

• 漢明距離：適用于二進制數據或分類數據，計算兩個序列中不同位置的數量。
• 杰卡德距離：適用于集合數據，計算兩個集合之間的相似性。

4. 總結

距離度量是聚類分析中的關鍵環節。通過選擇合適的距離度量方法，可以更好地反映數據點之間的相似性或差異性。

本文介紹了幾種常用的距離度量方法，包括閔可夫斯基距離、漢明距離和杰卡德距離等等，并通過代碼示例展示了它們的使用方式。

同時，我們還探討了距離度量的基本性質及其意義，以及如何針對連續屬性和離散屬性進行距離計算。

在實際應用中，選擇哪種距離度量方法取決于數據的類型和聚類的目標。