引理一：對于任意 \(n\ (n\ge 1)\) 個 \((0,1)\) 間的實數 \(a_1,...,a_n\)，下式始終成立：
\[\sum_{i=1}^{n}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n}(a_i+1)}<n+\dfrac{1}{2}
\]
證明：當 \(n=1\) 時，即證：
\[a_1+\dfrac{1}{a_1+1}<\dfrac{3}{2}
\]
\[(2a_1+1)(a_1-1)<0
\]
顯然成立。
假設 \(n=k\ (k\ge 1)\) 時成立，即
\[\sum_{i=1}^{k}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}<k+\dfrac{1}{2}
\]
設 \(a_{k+1}\in(0,1)\)，則有：
\[\begin{align*}
&\sum_{i=1}^{k}a_i+a_{k+1}+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k+1}(a_i+1)}\\
<&\sum_{i=1}^{k}a_i+a_{k+1}+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}\\
<&\sum_{i=1}^{k}a_i+1+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}\\
<&\ k+1+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\]
即 \(n=k+1\) 時成立。
故對 \(n\ge 1\) 均成立，證畢。
引理二：對于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 個積為 \(1\) 的正數 \(x_1>...>x_{n-1}>1>x_n>0\)，下式始終成立：
\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2}
\]
證明：取 \(a_i=\{x_i\}\ (i=1,...,n-1)\)，由引理一：
\[\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}(a_i+1)}<n-\dfrac{1}{2}
\]
可得：
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}&=\sum_{i=1}^{n-1}a_i+x_n\\
&=\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}x_i}\\
&=\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}(a_i+[x_i])}\\
&\le\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}(a_i+1)}\\
&<n-1+\dfrac{1}{2}=n-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\]
證畢。
引理三：對于任意 \(a,b\in(0,1)\)，\(ab+1>a+b\)。
證明：即證 \((a-1)(b-1)>0\)，顯然成立。
引理四：對于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 個積為 \(1\) 的正數 \(x_1>...>x_{n-2}>1>x_{n-1}>x_n>0\)，下式始終成立：
\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2}
\]
由 \(x_{n-1}x_n\in(0,1)\)，對 \(x_1,...,x_{n-2},x_{n-1}x_n\) 這 \(n-1\) 個數使用引理二，可得：
\[\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+\{x_{n-1}x_n\}<n-1-\dfrac{1}{2}
\]
即
\[\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+x_{n-1}x_n+1<n-\dfrac{1}{2}
\]
對 \(x_{n-1},x_n\) 使用引理三：
\[\begin{align*}
&\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+x_{n-1}x_n+1\\
>&\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+x_{n-1}+x_n\\
=&\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+\{x_{n-1}\}+\{x_n\}\\
=&\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}
\end{align*}
\]
所以
\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2}
\]
證畢。
引理四的推廣：對于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 個積為 \(1\) 的正數 \(x_1>...>x_{n-m}>1>x_{n-m+1}>...>x_n>0\)，下式始終成立：
\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2}
\]
證明：不斷對最后兩項 \(x_{n-1},x_n\) 使用引理四即證。
原命題：對于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 個積為 \(1\) 的正數 \(x_1,...,x_n\)，下式始終成立：
\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2}
\]
證明：不妨設 \(x_i\ (i=1,...,n)\) 均不為 \(1\)，則其中必有若干項大于 \(1\)，其余項均小于 \(1\)。則由引理四的推廣即證。
浙公網安備 33010602011771號