滑動面的設計及相關問題總結

1. 滑動面 \(s\) 的設計

• 核心思路
  滑動面用于指定系統在到達后所要維持的“運動規律”。通過在滑動面上對狀態（或誤差）進行約束，可實現對系統動態的控制與魯棒性增強。

• 常見設計方式

  1. 線性滑動面：對線性或近似線性的系統，將多維狀態做線性組合形成 \(s(x) = Cx\)。
  2. 基于誤差及其導數（跟蹤問題）：設跟蹤誤差 \(e(t)=x(t)-x_d(t)\)，可在滑動面中加入 \(\dot{e}, \ddot{e}\) 等，常見形式如二階系統的
     \[s(t) = \dot{e}(t) + \lambda e(t). \]

  3. 多變量耦合：當系統耦合維度高時，可用矩陣 \(C\) 作用于狀態向量或者誤差向量，保證多通道/多狀態間的耦合控制。
  4. 非線性滑動面：適用于強非線性系統，可直接對狀態或誤差進行非線性變換后構造滑動面。

• 注意要點

  1. 設計滑動面時需保證在該面上系統具有預期的穩定性與動態性能。
  2. 選擇恰當的參數（如 \(\lambda\) 等）平衡快速收斂與對噪聲的敏感度。
  3. 與切換控制律（如符號函數、飽和函數等）相配合，以確保系統可以在有限時間或足夠快的速度到達并保持在滑動面。

2. 高階系統僅選取一階狀態作滑動面的影響

• 高階動態未被充分約束
  在 \(n\) 階系統中若僅選取一階狀態（或一階誤差）作為滑動面，會忽略其它高階動態的收斂要求，導致系統的高階狀態無法受到直接控制。

• 誤差收斂局限性
  對跟蹤任務而言，滑動面若只包含位置誤差 \(e\)，即使 \(e=0\) 了，也不代表速度、加速度等更高階誤差能同時收斂，可能導致剩余自由度產生震蕩或不穩定。

• 失穩或性能不佳風險
  未被納入滑動面約束的高階自由度可能出現未預期的耦合運動，帶來額外振蕩、拖尾甚至不穩定。

• 常見工程實踐
  在實際應用中，會選取誤差及其導數（如 \(\dot{e}, \ddot{e}\) 等）構造高維或高階滑動面，也可使用高階滑模算法（如二階滑模、超扭曲算法）來全面控制高階狀態。

結論

1. 滑動面的設計應根據控制目標(調節/跟蹤)及系統階數/結構，選擇包含足夠的狀態或誤差信息，以在滑動面上保證所需的穩定與動態性能。
2. 對于高階系統，若僅用一階狀態構造滑動面，往往難以充分約束系統的高階動態，易導致不穩定或性能退化，建議采用多階誤差或更復雜的滑模設計。