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摘要： *來自潘承洞、潘承彪《初等數(shù)論》，有刪改。* 由于 $p=2$ 的情況過于顯然，所以文中假定 $p$ 是奇素數(shù)。 #### 一、引入 假設(shè) $p\not\mid a$，二次同余方程的一般形式是 $ax^2+bx+c\equiv 0\pmod p$，由于 $\gcd(p,4a)=1$，所以可以表示為 閱讀全文

摘要： *來自潘承洞、潘承彪《初等數(shù)論》，有刪改。* #### 一、定義 設(shè)整系數(shù)多項式 $f(x)=a_nx^n+…+a_1+a_0(1)$，討論是否有整數(shù) $x$ 滿足 $f(x)\equiv 0\pmod m(2)$。 我們將這個同余式 $(2)$ 稱為**模 m 的同余方程**。如果整數(shù) $c$ 滿 閱讀全文

摘要： *來自潘承洞、潘承彪《初等數(shù)論》，有刪改。* ### 一、求解 首先聲明，我們求的是所有的整數(shù)解，即 $(x,y,z)$ 滿足 $x^2+y^2=z^2$ 且 $x,y,z\in\mathbb{Z}$。 我們將滿足 $xyz=0$ 的所有解 $(x,y,z)$ 稱為方程 $x^2+y^2=z^2$ 閱讀全文

摘要： 定義 1 定義 $v_p(n)$ 是正整數(shù) $n$ 中含有質(zhì)因數(shù) $p$ 的個數(shù)。 一、求解 $\frac{n!}{p^{v_p(n!)}}\bmod p$ $p$ 是素數(shù)，將 $[1,n]$ 所有 $p$ 的倍數(shù)的項除掉一些 $p$ 使得該項不再是 $p$ 的倍數(shù)，然后再乘起來模 $p$。 然后我 閱讀全文

摘要： 一、wilson 定理 定理 1（Wilson 定理） 假設(shè) $p$ 是素數(shù)，$r_1,r_2,…,r_{p-1}$ 是模 $p$ 的既約剩余系，那么 $\operatorname{W}(p)=\prod\limits_{i=1}\limits^{p-1}r_i\equiv -1\pmod p$。 閱讀全文

摘要： ~~很難不懷疑作者的精神狀態(tài)~~ 讓我們假設(shè) $\gcd(a,b)=1$，$c_1<c_2<…<c_{\varphi(a)}$ 為 $1,2,…,a$ 中所有與 $a$ 互質(zhì)的數(shù)。 |$1$|$2$|…|$\varphi(a)-1$|$\varphi(a)$| | | | | | | |$c_1$| 閱讀全文

摘要： 來自潘承洞、潘承彪《初等數(shù)論》，有刪改。 定義 1（同余類） 把全體整數(shù)分為若干個兩兩不相交的集合，使得 $(i)$ 在同一個集合中的任兩個數(shù)模 $m$ 一定同余； $(ii)$ 在兩個不同集合中的任兩個數(shù)模 $m$ 一定不同余。 每一個這樣的集合稱為模 $m$ 的同余類。我們以 $r\bmod m 閱讀全文

摘要： 來自潘承洞、潘承彪《初等數(shù)論》，有刪改。 一、定義 定義 1（同余）設(shè) $m\ne 0$。若 $m\mid a-b$，即 $a-b=km$，則稱 $m$ 為模，$a$ 同余于 $b$ 模 $m$ 以及 $b$ 是 $a$ 對模 $m$ 的剩余，記作 $$a\equiv b\pmod m(1)$$ 否 閱讀全文

摘要： 1. 歐拉函數(shù)的定義以及性質(zhì) 定義一個數(shù) $m$ 的歐拉函數(shù) $\varphi(m)$ 為 $[1,m]$ 中與 $m$ 互質(zhì)的整數(shù)個數(shù)。 首先，明顯地， 如果 $m$ 是質(zhì)數(shù)，那么 $\varphi(m)=m-1$。 如果 $m$ 是質(zhì)數(shù)，那么 $\varphi(m^k)=(m-1)\times 閱讀全文