多項式
多項式
拉格朗日插值
用于對于 \(n+1\) 個點，可以求出它的函數表達式 \(L(n)\)。
即
\[\sum\limits^{n+1}_{i=1}{(y_i{\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}})}
\]
證明
設 \(L_i(x)\) 是一個 \(n\) 次多項式，且滿足
\[\begin{cases}
L_i(x_i)=y_i\\
L_i(x_j)=0\ \ \ (i\not=j)
\end{cases}
\]
即 \(L_i(x)\) 僅滿足 \(x_i\) ，而其他的 \(x_j\) 則必須對應為零。
那么 \(L=\sum\limits^{n+1}_{i=1}{L_i}\)。
如何構造 \(L_i\) 呢？
可以考慮先構造 \(L_i'(x)\)，使其滿足
\[\begin{cases}
L_i(x_i)=1\\
L_i(x_j)=0\ \ \ (i\not=j)
\end{cases}
\]
那么 \(L_i=y_iL_i'\)。
可以得出 \(L_i'(x)\) 可以是下面的多項式：
\[\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}
\]
那么 \(L_i(x)\) 就應該是:
\[yi\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}
\]
因為 \(L=\sum\limits^{n+1}_{i=1}{L_i}\)，所以 \(L(x)\) 應該為：
\[\sum\limits^{n+1}_{i=1}{(y_i{\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}})}
\]
這就是拉格朗日插值法。
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