1. 概述
可以通過線段的跨立實驗[1]判斷兩條線段是否相交，但是想要進一步求它們的交點還是比較麻煩。[2]給出的方法更加簡單，其原理來自求三維空間兩條線段的交點[3]。為了更好的理解，本文將詳細介紹二維空間兩條線段的交點求解過程。
2. 兩條線段交點求解過程
給定兩條線段\(\overline{P_1 P_2}\)和\(\overline{P_3 P_4}\)，端點表示為\(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\)、\(P_3(x_3,y_3)\)和\(P_4(x_4,y_4)\)，兩條線段對應的向量表示為\(\overrightarrow{P_1 P_2}\)和\(\overrightarrow{P_3 P_4}\)。假設兩條線段的交點為\(P_0(x_0,y_0)\)，且\(t=\frac{|\overline{P_1 P_0}|}{|\overline{P_1 P_2}|}\) 、\(s=\frac{|\overline{P_3 P_0}|}{|\overline{P_3 P_4}|}\)，那么 \(P_0\) 可以表示為：
\[\begin{cases}
P_0=P_1 + t * \overrightarrow{P_1 P_2} , 0\leq t \leq 1 \\
P_0=P_3 + s * \overrightarrow{P_3 P_4} , 0\leq s \leq 1
\end{cases}
\]
\(t\)和\(s\)在等于\(0\)或\(1\)時表示兩條線段相交在端點，如果為其他值，表示兩條線段不相交。將點坐標代入公式得：
\[\begin{cases}
x_1 + t * (x_2 - x_1) = x_3 + s * (x_4 - x_3) \\
y_1 + t * (y_2 - y_1) = y_3 + s * (y_4 - y_3)
\end{cases}
\]
利用公式消元法求得\(t\)和\(s\)：
\[\begin{aligned}
t = \frac{ (x_3 - x_1)(y_4 - y_3) - (y_3 - y_1)(x_4 - x_3) }{ (x_2 - x_1)(y_4 - y_3) - (y_2 - y_1)(x_4 - x_3) } \\
s = \frac{ (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) - (y_3 - y_1)(x_2 - x_1) }{ (x_2 - x_1)(y_4 - y_3) - (y_2 - y_1)(x_4 - x_3)}
\end{aligned}
\]
\(t\)和\(s\)方程的分子和分母都是向量的叉乘：
\[\begin{aligned}
t = \frac{ \overrightarrow{P_3 P_1} * \overrightarrow{P_4 P_3} } { \overrightarrow{P_2 P_1} * \overrightarrow{P_4 P_3} } \\
s = \frac{ \overrightarrow{P_3 P_1} * \overrightarrow{P_2 P_1} }{ \overrightarrow{P_2 P_1} * \overrightarrow{P_4 P_3} }
\end{aligned}
\]
如果\(\overrightarrow{P_2 P_1} * \overrightarrow{P_4 P_3} = 0\)，表示兩條線段平行，如果端點在另一條線段上，則該端點為交點，否則不是。如果\(t\)和\(s\)有一個沒有落在區間\([0,1]\)內，則兩條線段不相交。那么交點\(P_0\)的坐標為：
\[\begin{cases}
x_0 = x_1 + t*(x_2 - x_1) \\
y_0 = y_1 + t*(y_2 - y_1)
\end{cases}
\]
或
\[\begin{cases}
x_0 = x_3 + s*(x_4 - x_3) \\
y_0 = y_3 + s*(y_4 - y_3)
\end{cases}
\]
至此，整個求解過程介紹完成，再去看[2]的代碼就非常容易理解了。
參考文獻
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How to check if two given line segments intersect?
-
Find the Intersection Point of Two Line Segments
-
Intersections of Lines In Three-Space - Jon Garvin
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