PID詳解（理論+應用）

     ~~~~     最近研究智能小車這個方面，發現這個課題貌似已經被研究透了，僅僅在CSDN中就能搜索到無數的相關博文。但我查看一些博文的時候，隱隱感覺出作者君似乎也僅僅處于似懂非懂的階段，又或者他用的是春秋筆法所以模糊了一些關鍵點？為了記錄下自己看過的博文并且自我總結一些相關方面，在此提筆記錄一下自己的研究過程。

理論基礎：

PID是什么？

工業過程中廣泛采用的三作用控制器，也稱PID控制器(PID controller).

P: (Proportional)比例；
I : (Integral)積分；
D:(Derivative)微分；

時域輸出方程：

$u(t)=K_P?e(t)+K_I?\int e(t)+K_D?\frac{de(t)}{dt}$

編程中我們更多用到的是這個方程的數字式：

$U[k]=K_P?err[k]+K_I?\sum err[k]+K_D?(err[k]?err[k?1])$

由基本的自控知識可得到傳遞函數：

$Gc(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_P+\frac{K_I}{s}+K_D?s$

其中可調的三個參數就是:

$K_P$：比例增益 Proportional gain
$K_I$ ：積分增益 Integral gain
$K_D$：微分增益 Derivative gain

• 但很多情況下，我們不需要使用到全部的三種手段，經過排列組合就出現了P、PI、PD這種不完全版的控制器。

在工業中，更多采用傳統的PID控制器：

$u(t)=\frac{100}{P}(e(t)+\frac{1}{T_1}\int e(t)dt+T_D\frac{de(t)}{dt})$

其中：
P : 比例帶(%)
$T_1$ :積分時間(s)
$T_D$:微分時間(s/min)

對比之前的公式，我們得到：

$K_P=\frac{100}{P}$
$K_I=\frac{100}{P}?\frac{1}{T_1}$
$K_D=\frac{100}{P}?T_D$

     ~~~~     在工業的高精度要求與復雜處理環境下，我們對微積分時間的關注度更高。但在平時的小設計沒有必要采用這一套體系。

     ~~~~     在實際應用中，反饋測量信號往往混雜高頻噪聲，微分處理則會放大這些噪聲，所以這里我們需要濾波來去除高頻噪聲。

     ~~~~     所以這里我們的微分項在實際實現是采用：

$G_d(s)=\frac{K_{D}s}{{\tau }_{d}s+1}$

其中：
${\tau }_d$ 作為濾波時間常數，遠遠小于過程本身的時間，可以忽略。

位置式PID和增量式PID

位置式PID與增量式PID區別淺析：參考博文原址

位置式PID:

還是這個公式：

其中誤差

$P:e(k)=設定值?當前狀態值$
$I:\sum e(i)=誤差的累加$
$D:e(k)?e(k?1)=本次誤差?上一次的誤差$

位置式PID是對：當前系統的實際位置與你預期位置的偏差 進行PID控制。

通常PD控制器就可以滿足位置式PID：

因為有誤差積分 ∑e(i)，一直累加，也就是當前的輸出u(k)與過去的所有狀態都有關系，用到了誤差的累加值；（誤差e會有誤差累加），輸出的u(k)對應的是執行機構的實際位置，，一旦控制輸出出錯(控制對象的當前的狀態值出現問題 )，u(k)的大幅變化會引起系統的大幅變化
并且位置式PID在積分項達到飽和時,誤差仍然會在積分作用下繼續累積，一旦誤差開始反向變化，系統需要一定時間從飽和區退出，所以在u(k)達到最大和最小時，要停止積分作用，并且要有積分限幅和輸出限幅。
所以在使用位置式PID時，一般我們直接使用PD控制
而位置式 PID 適用于執行機構不帶積分部件的對象，如舵機和平衡小車的直立和溫控系統的控制

typedef struct PID
{ 
  float P,I,D,limit;
}PID;
 
typedef struct Error
{
  float Current_Error;//當前誤差
  float Last_Error;//上一次誤差
  float Previous_Error;//上上次誤差
}Error;
 
/*! 
 *  @brief      位置式PID
 *  @since      v1.0
 *  *sptr ：誤差參數
 *  *pid:  PID參數
 *  NowPlace：當前位置
 *  Point：   預期位置  
 */
 
// 位置式PID控制
float PID_Realize(Error *sptr,PID *pid, int32 NowPlace, float Point)
{
 
	int32 iError,	// 當前誤差
		 Realize;   //實際輸出	
 
	iError = Point - NowPlace;	// 計算當前誤差
	sptr->Current_Error += pid->I * iError;	// 誤差積分
      sptr->Current_Error = sptr->Current_Error > pid->limit?pid->limit:sptr->Current_Error;//積分限幅
      sptr->Current_Error = sptr->Current_Error <-pid->limit?-pid->limit:sptr->Current_Error;
	Realize = pid->P * iError       //比例P
            + sptr->Current_Error   //積分I
			+ pid->D * (iError - sptr->Last_Error);  //微分D
	sptr->Last_Error = iError;		  	// 更新上次誤差
	return Realize;	// 返回實際值
}

增量式PID

$\Delta u[k]=u[k]?u[k?1]$
$=K_P[e[k]?e[k?1]]+K_{I}e(k)+K_D[e[k]?2e[k?1]+e[k?2]]$

$P:e(k)?e(k?1)=$ 本次誤差 - 上一次的誤差

$I:e(i)=$ 誤差

$D:e[k]?2e[k?1]+e[k?2]￥$ = 本次誤差 - 2*上一次的誤差+上上次誤差

增量式PID的控制量$\Delta u(k)$是最近幾次誤差的增量，而不是實際的誤差，沒有誤差累加
所以增量式PID不需要累加，只需要最近的相鄰三次誤差就可以通過加權獲得比較好的控制效果，而系統出問題時這種PID不會嚴重影響系統工作。

總結：增量型 PID，是對位置型 PID 取增量，這時控制器輸出的是相鄰兩次采樣時刻所計算的位置值之差，得到的結果是增量，即在上一次的控制量的基礎上需要增加（負值意味減少）控制量。

typedef struct PID
{ 
  float P,I,D,limit;
}PID;
typedef struct Error
{
  float Current_Error;//當前誤差
  float Last_Error;//上一次誤差
  float Previous_Error;//上上次誤差
}Error;
 
/*! 
 *  @brief      增量式PID
 *  @since      v1.0
 *  *sptr ：誤差參數
 *  *pid:  PID參數
 *  NowPlace：實際值
 *  Point：   期望值
 */
// 增量式PID電機控制
int32 PID_Increase(Error *sptr, PID *pid, int32 NowPlace, int32 Point)
{
 
	int32 iError,	//當前誤差
		Increase;	//最后得出的實際增量
 
	iError = Point - NowPlace;	// 計算當前誤差
 
	Increase =  pid->P * (iError - sptr->Last_Error)   //比例P
			  + pid->I * iError      //積分I
			  + pid->D * (iError - 2 * sptr->Last_Error + sptr->Previous_Error);  //微分D
	
	sptr->Previous_Error = sptr->Last_Error;	// 更新前次誤差
	sptr->Last_Error = iError;		  	// 更新上次誤差
	
	return Increase;	// 返回增量
}

辨析：

增量式與位置式區別：
1。增量式算法不需要做累加，控制量增量的確定僅與最近幾次偏差采樣值有關，計算誤差對控制 量計算的影響較小。而位置式算法要用到過去偏差的累加值，容易產生較大的累加誤差。
2。增量式算法得出的是控制量的增量，例如在閥門控制中，只輸出閥門開度的變化部分，誤動作 影響小，必要時還可通過邏輯判斷限制或禁止本次輸出，不會嚴重影響系統的工作。 而位置式的輸出直接對應對象的輸出，因此對系統影響較大。
3。增量式PID控制輸出的是控制量增量，并無積分作用，因此該方法適用于執行機構帶積分部件的對象，如步進電機等，而位置式PID適用于執行機構不帶積分部件的對象，如電液伺服閥。
4。在進行PID控制時，位置式PID需要有積分限幅和輸出限幅，而增量式PID只需輸出限幅
位置式PID優缺點：
優點：
①位置式PID是一種非遞推式算法，可直接控制執行機構（如平衡小車），u(k)的值和執行機構的實際位置（如小車當前角度）是一一對應的，因此在執行機構不帶積分部件的對象中可以很好應用
缺點：
①每次輸出均與過去的狀態有關，計算時要對e(k)進行累加，運算工作量大。
增量式PID優缺點：
優點：
①誤動作時影響小，必要時可用邏輯判斷的方法去掉出錯數據。
②手動/自動切換時沖擊小，便于實現無擾動切換。當計算機故障時，仍能保持原值。
③算式中不需要累加。控制增量Δu(k)的確定僅與最近3次的采樣值有關。
缺點：
①積分截斷效應大，有穩態誤差；
②溢出的影響大。有的被控對象用增量式則不太好；

下面理論分析PID的作用

$$\begin{gathered} G_c(s)=K_P+\frac{K_I}{s}+K_{D}s=\frac{K_D{s}^2+K_{P}s+K_I}{s} \\ =\frac{K_D(S^2+as+b)}{s}=\frac{K_D(s+z_1)(s+z_2)}{s} \end{gathered}$$

根據數學知識可得：
$a=\frac{K_P}{K_D},b=\frac{K_I}{K_D}$

所以我們可以得知，引用PID會為系統帶來一個純積分環節和兩個零點。
原點處的極點可以提高系統的型數，改善穩態性能
兩個零點理論上可以在任何位于左半S平面的任意位置

PID整定方法

對于有數學模型的系統，自然可以仿真完成整定，但對于一個實際系統，我們可以通過實驗來標定。

1.手動標定

1.系統閉環，采取P控制器，設置Ki = 0, Kd = 0, Kp取一個較小的數，
  滿足系統穩定即可
2.逐漸增加Kp，每次改變控制器參數，都要觀察一段時間系統輸出量、控
  制量，直到閉環系統達到臨界穩定，輸出量產生等幅度、等周期的持續震蕩
  記錄此時的Kp
3.將Kp減少一半，繼續采用P控制器，逐步減少Kp，直到獲得4：1衰減震蕩
4.固定Kp，設置Kd = 0，采用PI控制器，將Ki從0開始逐漸增大，每次改變
  控制器參數，都要觀察一段時間系統輸出、控制量，直到閉環系統對擾動
  的抑制 和/或 對設定值的階躍響應 達到最佳。
5.固定Kp和Ki，采用PID控制器，將Kd從0開始逐漸增大，每次改變控制器參數
  觀察系統輸出、控制量，直到閉環系統對擾動的抑制 和/或 對設定值的階躍
  相應達到最佳
6.采用PID控制器，在已獲得的Kp，Ki，Kd附近，進一步精調控制器參數，直到
  得到最滿意的系統響應

對于PID的三個參數，對系統階躍相應的影響：

PID增益	百分比超調量	調整時間	穩態誤差
增大Kp	增大	影響很小	減小
增大Ki	增大	增大	為0
增大Kd	減小	減小	沒有影響

上表僅為參考，現實中情況錯綜復雜，一定要積極變通。

2.臨界比例帶法：Z-N法(Zigler-Nichols)

閉環：

這是一套實驗得出的方法，目標是使得閉環系統得到4：1衰減振蕩的階躍相應，閉環相應速度較快、振蕩適中、擾動抑制能力強。

1.設置Ki = 0, Kd = 0, 采用純P控制器
2.增大Kp，觀測輸入、輸出，直到系統達到臨界穩定，產生幅值和周期不變
   的持續振蕩
3.記錄Kp，成為臨界增益Ku；振蕩周期稱為臨界振蕩周期Tu
4.選定控制器類型，按閉環Z-N整定規則計算PID各個增益

整定規則：

控制器類型	Kp	Ki	Kd
P Gc(s)=Kp	0.5Ku -	-
PI Gc(s)=Kp+Ki/s	0.45Ku	0.54Ku/tu	-
PID Gc(s)=Kp+Ki/s+Kds	0.6Ku	1.2Ku/Tu	0.6KuTu/8

其實還有一種開環Z-N手段，這里不再贅述

3.經驗法：

1.P控制器：Ki = 0, Kd = 0,選擇初始Kp, 觀測擾動曲線或設定值響應曲線，
  增大或減小Kp，觀測曲線是否有所改善，若改善，則繼續按此方向整定Kp，
  反之，反向整定Kp，直到得到較好的曲線
2.Kp減小0.8倍，從0開始增大Ki，觀測曲線，得到較好的響應曲線
3.固定Ki,精調Kp，增大或減小Kp，直到得到較好的響應曲線
4.同里，精調Ki
5.由此得到較好的Kp、Ki
6.若增加微分，則采用類似方法，從0開始整定Kp，并進一步精調Kp、Ki、Kd

也可按照以下初始試湊范圍設定PID控制器初始值，然后精調

系統類型	P(%)	Ti(s)	Td(s)
溫度	20-60	180-600	30-180
流量	40-100	6-60	-
壓力	30-70	124-180
液壓	20-80

var code = “7794f5a6-3484-4545-91d8-e7d01462725e”