算是考前筆記吧，但也不是十分無趣。

Notation

\(\mathbf{e}_i=(\delta_{i,1},\delta_{i,2}\ldots\delta_{i,n})\)，其中 \(\delta_{i,j}=\begin{cases}&1&i=j\\&0&\text{otherwise}\end{cases}\)。

\([x]\) 在 \(x\) 為真時為 \(1\)，為假時為 \(0\)。

文中的向量都默認是 \(1\times n\) 的。

多元函數(shù)的連續(xù)與極限

連續(xù)性

想一想單元函數(shù)是如何定義連續(xù)的，我們定義到 \(x\) 距離很小的一個鄰域內的函數(shù)值之間的距離很小就可以了。然后推廣到多元函數(shù)，比如這里就考慮的是一個很 \(\text{trivial}\) 的情形：\(f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}\)，想到運用歐幾里得距離定義距離是很自然的。

形式化的，如果 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n,\forall \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n,\epsilon>0,\exists\delta,|\mathbf{y}-\mathbf{x}|\le \epsilon,|f(\mathbf{y})-f(\mathbf{x})|\le\delta\)，那么 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 處就是連續(xù)的，這和一元的形式?jīng)]有什么差別。

極限

極限也差不多，唯一的區(qū)別就是逼近的方向變得任意多了。這里和單元的情形一樣是去心鄰域，在 \(\mathbf{x}\) 處極限存在與否和在 \(\mathbf{x}\) 處有無定義無關。

多元函數(shù)的導數(shù)

偏導數(shù)

這大概是很常見的 \(\text{trcik}\)，也就是對 \(x\) 求導時把別的變量都視為常數(shù)的求導方法。

\(\#\) 這里的符號有點多，本文可能使用的有 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 和 \(f_x\)，都表示 \(f\) 對 \(x\) 求偏導。

還有一個值得注意的事情是，如果 \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\) 存在，就稱 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 處關于 \(x\) 可偏導，如果關于 \(x,y\) 的偏導都存在，就稱 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 處可偏導。

方向導數(shù)

得到偏導數(shù)的啟發(fā)，我們容易想到導數(shù)的方向可以是任意的，于是可以想到定義方向導數(shù)。形式化地，有

那么這個極限就被稱為 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 處沿 \(\mathbf{e}\) 方向的方向導數(shù)。當然，\(|\mathbf{e}|=1\) 的約束不是很必要，只要能約束方向即可。

還有一個值得注意的事情是上面的約束 \(c\to0^+\)，這很好理解，在給定的方向上，方向導數(shù)其實對應了單元情形中的左右導數(shù)。

全微分

考慮微小增量 \(\mathbfw0obha2h00\in\mathbb{R}^n\)，考慮計算 \(f(\mathbf{x}+\mathbfw0obha2h00)-f(\mathbf{x})\)，一個非常線性的想法就是

這樣類似做了一個多元的級數(shù)展開，然后保留線性項。不過這么寫不是很優(yōu)雅，可以用 \(o(|\mathbfw0obha2h00|)\) 把求和項中的小 \(o\) 項合并起來，就得到了

然后如果 \(c_i\) 和 \(\mathbfw0obha2h00\) 的選取無關，我們就得到了所謂的全微分，這時，我們就稱 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 處可微。這樣的好處就是我們可以使用如下公式：

然后一個自然的問題就是我們如何求出 \(c_i\)，容易發(fā)現(xiàn)，選取 \(\mathbfw0obha2h00=\mathbf{e}_i\) 就可以把無關的 \(\mathbfw0obha2h00_i\) 變成 \(0\)，這樣容易得到 \(c_i=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}\)。這個東西就叫全微分公式。

\(\#\) 一個稍微有點有趣的事情是如果我們考慮更廣泛的映射 \(f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m\)，那么可以定義真的微分 \(\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n,\lim_{|\mathbf{h}\to0|}\frac{f(\mathbf{x}+\mathbf{h})-f(\mathbf{x})-\mathbf{A}\mathbf{h}}{|\mathbf{h}|}\)，這里的 \(\mathbf{A}\) 就是 \(f^\prime\)，是一個 \(m\times n\) 的矩陣，被稱為 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 處的微分。這個 \(\mathbf{A}\) 其實就是 \(\text{Jacobi}\) 矩陣。

可微的充要條件

其實應該挺多的，這里說一個常見的，可偏導且偏導連續(xù)。

大概的證明思路就是考慮裂項，考慮 \(\mathbf{c}_i=(\mathbfw0obha2h00_j[j\le i])\)，然后

這樣相當于每次都只對一項求偏導，這樣就變成了單元的情形，用 \(\text{Lagrange}\) 中值定理有 \(f(\mathbf{x}+\mathbf{c}_i)-f(\mathbf{x}+\mathbf{c}_{i-1})=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}\big((\mathbf{x}+\mathbf{c}_{i-1})+\theta\mathbf{e}_i)\big),\theta\in(0,\mathbfw0obha2h00_i)\)，。

然后因為偏導數(shù)是連續(xù)的，然后 \(\mathbfw0obha2h00_i\) 最后肯定是趨于 \(0\) 的，所以這個就和 \(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}\) 沒有什么區(qū)別。于是就證完了。

梯度，散度和旋度

這里直接上了多元積分，但是應該問題不大。

梯度

我們定義 \(\bigtriangledown f=\mathbf{grad}f(\mathbf{x})=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}(\mathbf{x})\mathbf{e}_i\)，也就是在 \(\mathbf{x}\) 處對各個分量的偏導數(shù)構成的向量。

這個東西有非常重要的實際含義，也就是變化率最大的方向，也就是說絕對值最大的方向導數(shù)的方向是 \(\mathbf{grad}f\) 而且其模恰好是 \(|\mathbf{grad}f|\)。

還有一個很幾何的用處是 \(\mathbf{grad}f\) 是 \(f\) 的法向量（\(\text{normal vector}\)）。

散度

定義 \(\bigtriangledown\cdot\mathbf{f}=\mathbf{div}\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial \mathbf{f}_i}{\partial \mathbf{x}_i}(\mathbf{x})\)。

散度主要是有一個 \(\text{Gauss}\) 定理，用 \(V\) 表示一個區(qū)域，\(\partial V\) 表示其邊界，\(\mathbf{n}\) 表示某點的法向量，那么

比如在 \(3\) 維情況下就有

這個證明也比較簡單，劃分正方體即可。

旋度

這個是 \(3\) 維特有的定義

有個旋度定理，其實就是 \(\text{Stokes}\) 定理。

多元函數(shù)的復合

這里的復合很像矩陣，考慮 \(f:\mathbb{R}^m\mapsto\mathbb{R}^p,g:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m\)，那么 \(f\circ g:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^p\)，這里我們是先作用 \(g\)，再作用 \(f\)。也就是 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)，\((f\circ g)(\mathbf{x})=f\big(g(\mathbf{x})\big)\)。

鏈式法則

看到上面的形式我們就很想導一下，于是就得到了鏈式法則，這個過程非常自然沒有什么好說的：

這個式子推導的時候其實就是先用全微分公式，然后對 \(g(\mathbf{x})\) 求偏導。所以約束也很 \(\text{trivial}\) 的就是 \(f\) 可微，\(g\) 可偏導。

一點解析幾何

曲線的切線與法平面

參數(shù)方程

考慮一條曲線 \((x(t),y(t),z(t))\)，那么考慮切線，也就是點運動的方向，下一個點是 \((x(t+\textw0obha2h00t),y(t+\textw0obha2h00t),z(t+\textw0obha2h00t))\)，那用兩點式很容易得到切線方程：

與切線垂直的平面就叫法平面，也容易寫出方程：

\(\text{bonus}:\) 你要是說這個時候可不可以定義法向量，那就只能去問 Frenet 標架 了。

隱函數(shù)

還有一種給出曲線的方法是 \(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\)，這個時候也很簡單。

先分別求出兩個曲面的切平面 \(\alpha,\beta\)（求法在后面），然后切線 \(l\in\alpha,l\in\beta\Rightarrow l=\alpha\cap\beta\)。

最后貼一下公式，切線方程為

曲面的法向量與切平面

現(xiàn)在我們有一個曲面：\(F(x,y,z)=0\)，要求其法向量。

考慮任取一條軌跡 \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\)，\(r^\prime(t)=(x^\prime(t),y^\prime(t),z^\prime(t))\)，那么我們有

這時對 \(t\) 求導，就有

如果我們取兩個不同方向的 \(r_1(t)\) 和 \(r_2(t)\)，則可以發(fā)現(xiàn)它們都與 \(\mathbf{grad}f\) 正交，這說明 \(\mathbf{grad}f\) 正是法向量，然后求切面方程也就顯然了。

多元函數(shù)的極值

易知，\(\mathbf{grad}f(\mathbf{x})=\mathbf{0}\) 是 \(\mathbf{x}\) 為極值點的必要條件。

Hessian Matrix

在一元的時候，我們知道可以用 \(2\) 階導判斷極值點和鞍點，而在多元的時候，我們考慮采用 \(\text{Hessian}\) 矩陣。

頹一下柿子，其實我們就是想要任選一個方向 \(\mathbf{v}\)，都有 \(g:=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}},\frac{\partial g}{\partial \mathbf{v}}>0\)，這樣就是最小值點，\(<0\) 則得到最大值點。

運用全微分公式，容易有 \(g=\frac{1}{|\mathbf{v}|}\mathbf{v}^T\mathbf{grad}f\)，這里不失一般性的假設 \(|\mathbf{v}|=1\) 以簡化計算。

然后同理，

這里的 \(\mathbf{grad}(\mathbf{grad}f)^T\) 就記為 \(H_f(x)\) 被稱為海塞矩陣。

容易發(fā)現(xiàn)，如果海塞矩陣是正定的，那就是最小值，負定的，就是最大值。除了半正定和半負定的情況也一定是鞍點。

Talyor 公式

容易發(fā)現(xiàn)，用海塞矩陣不能判斷半正定和半負定的情況，然后我們想到在一元的時候判斷駐點其實可以通過冪級數(shù)展開的系數(shù)看出來，而海塞矩陣就相當于 \(2\) 次的展開，那這樣的話我們類似的展開就好了，這就引出了多元函數(shù)的 \(\text{Talyor}\) 公式。

和一元的差不多。我們假設 \(\varphi(t)=f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})\)，其中 \(\mathbf{v}\) 是任意非零向量，這樣我們就可以把 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 點的值，沿 \(\mathbf{v}\) 方向展開，運用復合函數(shù)求導，可以得到

然后對 \(\varphi(1)\) 運用普通的 \(\text{Talyor}\) 公式就有：

如果想保留余項，那么也差不多，任意得到余項：

多元積分

累次積分

累次積分非常簡單，可以理解為多層的 \(\sum\)，實際上兩者也差不多。這個的交換和交換求和號差不多，大多數(shù)時候不太需要注意，但是無窮的時候最好小心一點。

比如 \(\int_0^1\int_0^1 x\textw0obha2h00y\textw0obha2h00x\)，內層關于 \(y\) 積分，就把 \(x\) 當作常數(shù)，得到 \(\int_0^1x\textw0obha2h00y=x\)，然后再計算外層積分即可。

一點外微分

一個 \([a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\ldots\times[a_n,b_n]\) 的超立方體的“體積”，可以足夠自然地認為是 \(\underbrace{\int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}\cdots\int_{a_n}^{b_n}}_{n\text{個}\int}1{\textw0obha2h00x_1\textw0obha2h00x_2\ldots\textw0obha2h00x_n}=\prod\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)\)，但是如果我們交換其中一個積分的上下限，就會得到相反的結果，這啟發(fā)我們積分是有方向的，這樣的思路引出了外微分。

一點拓撲

我們有一種樸素的直覺，對于一個 \(2\) 維區(qū)域，比如 \(D:\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}\) 的圓形區(qū)域，求其“長度”是不合理的，但是考慮 \(E:\{(x,y):x^2+y^2=1\}\) 對應的圓周，求其長度是自然的。

這就啟發(fā)我們，考慮一個積分的區(qū)域（不妨把它叫做空間），其自由度，也就是變元數(shù)減去約束數(shù)，通常代表了這個空間的維度。

然后一個平凡的感知是對于一個 \(k\) 維空間，我們可以用一個 \(k\) 層積分表示其“體積”（可能是無限的），而這個“體積”是一個常數(shù)。

再想一想累次積分的時候，我們每次積分都消去了一個變元，一種很直觀的想法就是積分是一種降低維度的手段。

微分形式

一個直接的觀察是 \(\textw0obha2h00x_i\) 的數(shù)目與 \(\int\) 的數(shù)目應該相同，那么可以想到微分作為積分的逆運算，應該是升高維度的方法。

另外一個不是很容易發(fā)現(xiàn)，但是很易得的觀察是每次的 \(\textw0obha2h00x_i,\textw0obha2h00x_j\)，\(x_i,x_j\) 應該是不同的。用線代語言改寫一下就是線性無關。

首先，我們想要構造維度，那么把一個已有的線性空間 \(V\) 用張量積進行擴張時合理的想法，也就是給一個域 \(F\)（在多元微積分中通常是 \(\mathbb{R}\)，剛剛的線性空間 \(V\) 也是在 \(F\) 上滿足數(shù)乘），有 \(T^0V=F,T^kV=\underbrace{V\otimes V\otimes\ldots\otimes V}_{n\text{個}V},T(V)=\bigoplus_{i=0}^\infty T^iV\)，其中 \(\bigoplus\) 表示直和。
\(\#\) 上面這個東西其實就是張量代數(shù)，可以自行了解其上的運算什么的。

通過張量代數(shù)，我們其實是定義了 \(P\wedge_{1\le i\le n} \textw0obha2h00x_i\) 這樣的結構，但是其中可能有 \(\textw0obha2h00u\wedge\textw0obha2h00u\) 這樣的東西（理論上，我們還不知道 \(\wedge\) 是什么東西，只是作為一個把 \(\textw0obha2h00x\) 連接起來的符號，這個運算的性質我們暫時不清楚），那代數(shù)上，一個很自然的想法就是把我們不想要的東西商掉，于是我們就把 \(\forall v\in V,v\otimes v\) 生成的理想 \(I\) 商掉，這樣我們就得到了外代數(shù)空間：\(\wedge(V)=T(V)/I\)。

然后，稱 \(\wedge^k(V)=T^kV/I\) 為 \(V\) 的 \(k\text{th-exterior power}\)（\(k\) 階外冪）。然后我不會講了，大家自己看吧（大霧）外代數(shù)。

楔積

我們引入了楔積：

1. \(x\wedge x=0\)
2. \(x\wedge y=-y\wedge x\)

可以看到，楔積是外積某種形式上的推廣。

于是我們先考慮一類強化的積分，也就是有向的，這樣積出來的 \(\int_D\omega\textw0obha2h00x\wedge\textw0obha2h00y\) 和尋常按照 \(\textw0obha2h00x\textw0obha2h00y\) 的就至多有一個符號的差別。（這里不考慮奇異的區(qū)域）

Jacobi 行列式

計算重積分的時候我們可能想換元：

這個時候，\(\textw0obha2h00\mathbf{x}_i\) 就會變成 \(\textw0obha2h00\mathbf{x}_i(\mathbf{y})=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial \mathbf{y}_k}\textw0obha2h00\mathbf{y}_k\)。

這個時候，網(wǎng)上的教程就會告訴你，這里用的是楔積，交換的代價是 \(-1\)，于是最后就得到了所謂的 \(\text{Jacobi}\) 行列式：

當然了，前面已經(jīng)說明了楔積至多只會導致符號不同，所以這里實際上是先有了一個我們要刻畫的積分區(qū)域 \(D\)，和一個微分形式 \(\omega\)，現(xiàn)在求 \(\int_D\omega\)，然后我們再找到合適的坐標系代入，這個代入的過程就叫 \(\text{pullback}\)。

比如我們要刻畫 \(D:\{(x,y):x^2+y^2=1\}\)，考慮 \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\)，那么 \(x-y\) 坐標下的一個圓就被映射到 \(r-\theta\) 坐標下的一條直線 \(r=1\) 上了（這里的 \(r-\theta\) 坐標的取值范圍是 \(\mathbb{R}\times[0,2\pi)\)）。雖然幾何上不一樣，但是確實刻畫了同樣的區(qū)域。（這里其實是說這兩個流形是同胚的，關于極坐標系和直角坐標系）

然后打表一下常用的換元：

\(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases},\textw0obha2h00x\textw0obha2h00y=r\textw0obha2h00r\textw0obha2h00\theta\)。

\(\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\y=r\sin\varphi\sin\theta\\z=r\cos\varphi\end{cases},\textw0obha2h00x\textw0obha2h00y\textw0obha2h00z=r^2\sin\varphi\textw0obha2h00r\textw0obha2h00\varphi\textw0obha2h00\theta\)。

Stokes 公式

通用 stokes 公式

其中 \(M\) 是一個 \(n-\)維可定向流形，\(\partial M\) 是其邊界，\(\textw0obha2h00\omega\) 是一個 \(n-\)維微分形式。

完整證明可以看這里，反正我目前沒有看懂。看完這個也不用看本文這個低配版了╥﹏╥...

一些瑣屑的應用

Green 公式

你不會不知道 \(\text{Green}\) 公式是在 \(2\) 維情形下使用的吧。

Gauss 公式

目測很顯然，一個很離譜的事情就是之前講散度的時候用默認是楔積了……

又一點解析幾何

曲線長度

比如考慮一條空間曲線，\((x,y,z)\)，注意到曲線是 \(1\) 維形式，所以可以寫成 \((x(t),y(t),z(t))\)，也就是 \(\text{pullback}\) 到 \(t\) 坐標系中。

然后用 \(\textw0obha2h00s\) 表示曲線的微分形式，可以有 \(|\frac{\textw0obha2h00s}{\textw0obha2h00t}|=\langle \frac{\textw0obha2h00s}{\textw0obha2h00t},\frac{\textw0obha2h00s}{\textw0obha2h00t}\rangle\)，其中 \(\langle\rangle\) 是對應空間中的內積（一般如此定義距離）。

比如使用歐幾里得距離，就有 \(\textw0obha2h00s=\sqrt{(\frac{\textw0obha2h00x}{\textw0obha2h00t})^2+(\frac{\textw0obha2h00y}{\textw0obha2h00t})^2+(\frac{\textw0obha2h00z}{\textw0obha2h00t})^2}\textw0obha2h00t\)。

流形的測度

如果想求曲面面積或者，更廣泛的，\(n\) 維超平面的測度。使用楔積，我們有一個自然的方法。

假設我們在 \(\mathbf{x}\) 坐標系中有一個子空間 \(D\) 是 \(m\) 維流形，那么可以把 \(D\) \(\text{pullback}\) 到 \(\mathbf{y}_{1\ldots m}\) 坐標系中。

很符合直覺的，\(\text{pullback}\) 應該是一個雙射，實際上確實是這樣的。（主要問題是這里沒有嚴格定義 \(\text{pullback}\)……）那么我們可以考慮 \(r:\mathbf{y}\mapsto\mathbf{x}\) 是 \(\text{pullback}\) 的反向映射。

具體一點，比如常規(guī)的換元 \(\begin{cases}&x=x(u,v)\\&y=y(u,v)\\&z=z(u,v)\end{cases}\)，此時就有 \(r(u,v)=\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\)，如果你認識物理系的朋友，那你會知道這還有一種寫法是 \(x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k}\)，其中 \(\mathbf{i,j,k}\) 是正交基，所以這其實也可以寫成 \(r=x(u,v)\wedge y(u,v)\wedge z(u,v)\)。

感性理解一下，\(\mathbf{y}\) 坐標下自由度是剛剛好的，所以自然地有面積微元表達：

其中 \(r_i=\frac{\partial r}{\partial \mathbf{y}_i},i\in[1,m]\cap\mathbb{N}\) 就構成了所謂的切向量場。

這里，其實順便就把 \(\text{Jacobi}\) 矩陣推導出來了（也就是 \(n=m\) 的情形）。

比如在 \(2\) 維的情況下，我們試著推導出傳統(tǒng)的用內積 \(\langle\rangle\) 來刻畫度量的方法，也就是

在 \(2\) 維的適合，楔積 \(\wedge\) 和外積 \(\times\) 相同，可以有

采用展開內積的時候已經(jīng)默認采用常見意義下的內積。

這個時候有一個問題，就是如果維度更高，我們得到的 \(\textw0obha2h00S\) 會帶一個 \(n\times m\) 的矩陣：

這時，一個很 \(\text{naive}\) 的度量 \(J\) 的方法就是

隱式構造局部測度

很多時候，我們不一定很容易得到參數(shù)方程的表達，只能得到一個 \(n\) 維空間 \(V^n\)，其中一個流形滿足：\(D=\{\mathbf{x}:f_i(\mathbf{x})=0,i\in[1,n-k]\cap\mathbb{N}\}\)。

這個時候我們只能想辦法直接在 \(V^n\) 中計算，第一步，使用狄拉克 delta 函數(shù)從 \(D\) 提取到 \(V^n\) 中（以后有空可能會講一講 \(\text{Dirac delta}\) 函數(shù)吧）：

但是目前，這個表達式是不合法的，因為 \(V^n\) 是 \(n\) 維流形，而 \(\omega\) 是 \(k\) 維形式。

觀察一下可以感性理解到，\(\mathbf{grad}f_i\) 構成了法向量空間（法向量空間就是和切向量空間正交，且兩者直和起來可以表示 \(V^n\) 向量空間）。

然后我們知道 \(\textw0obha2h00x\wedge\textw0obha2h00x=0\)，而我們正好不想要法向量空間中的那些向量，于是可以想到 \(\left(\bigwedge\limits_{i=1}^n\textw0obha2h00\mathbf{x}_i\right)\wedge\left(\bigwedge\limits_{i=1}^{n-k}\mathbf{grad}f_i\right)\)，這樣就消去了我們不想要的方向。 （真是太感性理解辣）

后面的可以提出系數(shù)，然后留下的單位方向向量再消掉，所以我們只用關心前面的系數(shù)。

我們考慮每次只降低 \(1\) 維，每次的操作記為 \(\iota_{1\ldots n-k}\)（或者更高級的，叫嵌入），最后的嵌入就是這些嵌入的復合：\(\iota_1\circ\iota_2\circ\ldots\iota_{n-k}(\omega)\)。

比如考慮 \(S^2:\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\}\)，要求 \(\int_{S^2}\textw0obha2h00\mu(\mathbf{x})\)，其中 \(\mu\) 表示我們要求的是 \(S^2\) 的測度。

那么我們只有一個 \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)，易得 \(\mathbf{grad}f=(2x,2y,2z)\)。

具體插入一個向量進行嵌入時，我們遵循基本插入規(guī)則：

這個規(guī)則是怎么來的呢，其實就是假設現(xiàn)在有一組向量 \(\mathbf{b}\)，然后我想刪除 \(\mathbf{v}\) 這個方向的向量，考慮從 \(\bigwedge\limits_{i=1}^n\mathbf{b}_i\) 中利用楔積的性質去除 \(\mathbf{v}\)，非常 \(\text{naive}\) 的一個想法就是考慮：

這樣得到的 \(\mathbf{c}_{1\ldots n}\) 實際上只有 \(n-1\) 個線性無關的向量，和 \(\mathbf{v}\) 一同張成原本 \(\mathbf{b}\) 張成的空間。

然后在刻畫一個微分形式的時候，一些向量本身就沒有，這樣替換就相當于什么也沒有干，看上去就是直接替換對應元素了。

回到 \(S^2\) 的例子，可以得到

到了這里就是可以算的了（雖然不太容易）。經(jīng)過一些，不太困難（？）的計算，我們得到了答案是 \(8\pi\)，高中生也知道我們做錯了。這個悲傷的故事是因為我們在去除法向量的時候順便進行了縮放，這導致答案不對。

此時，通過一些幾何直覺，考慮 \(\text{Gram}\) 矩陣（其實就是應該把 \(\mathbf{grad}f_i\) 這組基單位化，然后正交化）：

這個是表示了法向量空間的測度，我們應該除掉。

上例中，\(\sqrt{|G|}=\sqrt{|\langle(2x,2y,2z),(2x,2y,2z)\rangle|}=2\)，除掉之后確實是對的。

可以得到通用算法