\({\color{Red}{警告}}\)：內(nèi)部可能含有一些錯(cuò)誤。

Notation

\(\mathbb{N,Z,Q,R}\) 表示自然數(shù)集（包括 \(0\)），整數(shù)集，有理數(shù)集，實(shí)數(shù)集。

\(G\) 通常表示一個(gè)群，\(R\) 通常表示一個(gè) \(\text{unitary ring}\)。

小寫字母 \(a,b,x,y,g,r\) 通常表示集合中的元素。

之前用 \(\text{Ker}\) 表示核，但是我突然發(fā)現(xiàn) \(\LaTeX\) 自帶的是 \(\ker\)，所以本文可能出現(xiàn)混用。因?yàn)?\(\text{\\im}\) 不是可以渲染的，所以還是用 \(\text{Im}\) 表示項(xiàng)。

Ring

Unitary Ring

之前在 [[Group Theory I]] 中模糊地定義了環(huán)，這里給出更嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)的定義。

如果一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu) \((R,+,\times)\) 滿足

1. \((R,+)\) 是 \(\text{Abel group}\)
2. \(a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\)
3. \(a\times(b+c)=a\times b+a\times c\)

那么 \((R,+,\times)\) 就是一個(gè) \(\text{ring}\)，可以簡(jiǎn)寫為 \(R\)。

注意，和之前不同的是這里沒有要求 \(\times\) 存在幺元，如果對(duì) \(\times\) 存在幺元 \(1\)，那么 \(R\) 是一個(gè) \(\text{unitary ring}\)（幺環(huán)）。

乘法幺元如果存在，一般記為 \(1\)（也有寫 \(e\) 的），加法幺元一般記為 \(0\)，也稱為零元。

\(\#\) 在相當(dāng)多時(shí)候，說 \(\text{ring}\) 都默認(rèn)是 \(\text{unitary ring}\)。這個(gè)需要結(jié)合上下文分析。這種情況下，有的人喜歡用 \(\text{ring}\) 表示 \(\text{unitary ring}\)，用 \(\text{rng}\) 表示 \(\text{ring}\)。我們也采用這種記法。

\({\color{red}\#}\) 一些混亂邪惡的作者會(huì)把乘法不滿足結(jié)合律的結(jié)構(gòu)也叫 \(\text{ring}\)。

\({\color{violet}\#}\) 更罕見的情形是有的作者認(rèn)為 \(\text{ring}\) 對(duì) \(\times\) 要是交換的，這樣的 \(\text{ring}\) 我們稱其為 \(\text{commutative ring}\)。

Unit

考慮 \((\mathbb{Z},+,\times)\) 這個(gè)環(huán)，顯然不是所有元都有乘法逆元，但 \(\pm1\) 是有乘法逆元的。

更特殊的例子可以考慮 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)\)，此時(shí)那些滿足 \(\gcd(a,n)=1\) 的 \(a\) 才有乘法逆元。

這個(gè)性質(zhì)比較特殊，如果一個(gè)元素在 \(R\) 中存在乘法逆，則稱其為一個(gè) \(\text{unit}\)（單元）。

Subring

這個(gè)幾乎不需要講，就是 \(S\subset R\)，且 \(S\) 也是一個(gè)環(huán)，那么 \(S\) 就是 \(R\) 的 \(\text{subring}\)。

Zero Ring

如果一個(gè) \(\text{ring}\) 中只有一個(gè)元素 \(0\)，那這個(gè)很 \(\text{trivial}\) 的 \(\text{ring}\) 就是一個(gè) \(\text{zero ring}\)（零環(huán)）。

一個(gè)同樣 \(\text{trivial}\) 的事實(shí)是：如果 \(0=1\)，那么 \(R\) 是 \(\text{zero ring}\)。這也是為什么我們不能定義 \(\frac{x}{0}\)，這會(huì)導(dǎo)致 \(\mathbb{R}=\{0\}\)。

Polynomial Ring

多項(xiàng)式環(huán)（\(\text{polynomial ring}\)）就是多項(xiàng)式構(gòu)成的環(huán)（如說）。

比如我們考慮 \(x\)，那么一個(gè)多項(xiàng)式就是 \(\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i\) 的式子，其中 \(n\in\mathbb{N}\cup\{+\infty\}\)，然后我們還需要確定 \(a_i\) 所屬的集合，可以發(fā)現(xiàn)，只要 \(a_i\in K\)，\((K,+,\times)\) 可以構(gòu)成一個(gè)環(huán)，那么容易自然地得到對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式環(huán)。

\(\#\) \(\deg f\) 表示多項(xiàng)式 \(f\) 的度數(shù)（\(\text{degree}\)），也就是和式中的 \(n\)，特殊地，\(0\) 的度數(shù)為 \(-\infty\)。

Quotient Ring

Preparation

\(\text{Quotient}\) 在代數(shù)中是一個(gè)很重要的思想，大概就是一類東西具有相同的性質(zhì)，所以我們把這樣一類東西當(dāng)作一個(gè)對(duì)象來(lái)看，正常來(lái)說，這樣的性質(zhì)可以形成對(duì)我們研究的集合的一個(gè)劃分。實(shí)際上，\(\text{quotient ring}\) 的一個(gè)別名就是 \(\text{residue class ring}\)，也就是剩余類環(huán)。

最常見的例子還是同余類，我們只關(guān)心答案在 \(\bmod m\) 下的性質(zhì)，所以就把集合 \(\overline{a}=\{a+km:k\in\mathbb{Z}\}\) 作為一個(gè)元素研究。（\(\#\) 這里再次使用同余的一個(gè)原因是同余下的 \((+,\times)\) 自然構(gòu)成一個(gè) \(\text{ring}\)）

那么我們想取出 \(\text{ring } R\) 的一個(gè)子集 \(I\)，得到一個(gè) \(\text{quotient ring}\) \(R/I\)。參考上面的同余類，一個(gè)自然的想法就是構(gòu)造同樣的類 \(\overline{a}=\{a+i:i\in I\}\)，然后定義 \(R/I=\{\overline{r}:r\in R\}\)。比如同余下，我們就可以構(gòu)造一個(gè)子集 \(I=\{km:k\in\mathbb{Z}\}\)，這樣和初等數(shù)論中的直觀定義是等價(jià)的。

在更抽象的層面上，我們希望總結(jié)出 \(I\) 的代數(shù)性質(zhì)，為此，我們引入了 \(\text{ideal}\) 的定義。

Ideal

From Quotient Ring

類似 \(\text{quotient group}\) 中的討論，我們希望 \(\overline{a}\cap\overline{b}\ne\varnothing\Leftrightarrow\overline{a}=\overline{b}\)。然后因?yàn)槲覀兛紤]的是 \(\text{ring}\)，所以我們希望 \(R/I\) 也是一個(gè) \(\text{ring}\)。

可以從 \(\text{quotient ring}\) 上定義的 \(+,\times\) 入手。自然的想法就是 \(\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}\)，考慮集合加法的定義，我們可以想到有 \(I+I=I\)。

然后我們可以想到 \(\overline{a}\times\overline{b}=\overline{a\times b}\)，不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙懀褪?\((a+I)\times(b+I)=(ab+I)\)，直接展開得到 \(ab+aI+Ib+II=ab+I\)。

此時(shí)，最 \(\text{naive}\) 的想法就是需要 \(aI+Ib+II=I\)，一個(gè)不那么容易注意到的想法是之前提出了 \(I+I=I\)，于是這里我們可以約束 \(aI=Ib=II=I\)。當(dāng)然，容易注意到 \(II=I\) 在有前兩者的條件下是不必要的。我們只需要約束 \(\forall r\in R,rI=Ir=I\)。

Ideal

上面的約束有點(diǎn)強(qiáng)，真正的 \(\text{ideal}\) 約束要弱一些，很多時(shí)候我們只要求一邊，具體地

1. \((I,+)\) 是 \((R,+)\) 的 \(\text{subgroup}\)
2. \(\forall r\in R,\forall i\in I,ri\in I\)

這里只是定義了左理想，也就是在左邊乘任意的 \(r\) 仍然得到自己，這樣的性質(zhì)被稱為左吸收率。

如果把 \(ir\in I\) 改為 \(ir\in I\) 就可以定義右理想，既是左理想又是右理想的理想被稱為雙邊理想（\(\text{two-sided ideal}\)）。根據(jù) \(\ker\) 的定義，\(\ker\varphi\) 是一個(gè) \(\text{two-sided ideal}\)（\(\text{ring homomorphism}\) 和 \(\text{group}\) 上的情形差不多，注意這里的 \(0\) 是 \((R,+)\) 的幺元）。

一個(gè)簡(jiǎn)單的理想的例子是多項(xiàng)式環(huán)上有著特定零點(diǎn)的多項(xiàng)式。由此，容易發(fā)現(xiàn) \(\forall r\in R\)，\(Rr\) 是 \(\text{right ideal}\)，\(rR\) 是 \(\text{left ideal}\)，\(RrR\) 是 \(\text{two-sided ideal}\)。

Principal Ideal

此處開始，默認(rèn)討論的 \(\text{ideal}\) 都是 \(\text{left ideal}\)。

\(rR\) 是一個(gè) \(\text{ideal}\)，那么一個(gè)自然的想法是研究 \(a_1R+a_2R=\{a_1r_1+a_2r_2:\forall r_1,r_2\in R\}\)。因?yàn)轱@然有 \(RR\subseteq R\)，于是 \(a_1R+a_2R\) 還是 \(R\) 的一個(gè) \(\text{ideal}\)。

由此可以想到取出有限個(gè)元素 \(a_1,a_2\ldots a_m\)，\(\{\sum\limits_{1\le i\le m}a_ir_i:\forall r_i\in R\}\) 仍是一個(gè) \(R\) 的 \(\text{ideal}\)，這樣生成的理想就被稱為 \(\text{principal ideal}\)（主理想），簡(jiǎn)寫為 \(\overline{(a_1,a_2\ldots a_m)}\)。

\(\#\) 很多地方并不會(huì)在上面加一條線，這導(dǎo)致了豐富的問題，不過在沒有歧義的情況下本文也不會(huì)打。有的地方的解決方案是用 \([a_1,a_2\ldots a_m]\) 代替之。

而 \(\overline{(0)}\) 會(huì)生成一個(gè) \(\text{zero ring}\)，\(\overline{(1)}\) 會(huì)生成 \(R\) 本身，這兩個(gè)理想就被稱為平凡的理想（\(\text{trivial ideal}\)），分別有個(gè)名字 \(\text{zero ideal}\) 和 \(\text{unit ideal}\)，別的理想被稱為非平凡的（\(\text{proper ideal}\)）。

此時(shí)一個(gè)可能有用的例子是考慮二元多項(xiàng)式環(huán) \(\mathbb{C}[x,y]\)，比如我們只想考慮不含 \(xy\) 項(xiàng)的那些，我們就可以構(gòu)造一個(gè)理想 \(\overline{(xy)}=\{xyf:f\in\mathbb{C}[x,y]\}\)，然后 \(\mathbb{C}[x,y]/\overline{(xy)}\) 就得到了我們想要的集合。

Field

如果 \(F\) 是一個(gè) \(\text{ring}\) 并且不是 \(\text{zero ring}\)，其中 \(\forall a\in F,a\ne 0,\exists a^{-1}\in F,aa^{-1}=1\)，那么就稱 \(F\) 為一個(gè)域（\(\text{field}\)）。

另一個(gè)等價(jià)的定義是 \(\text{field}\) 是只有平凡理想的 \(\text{ring}\)。

先證明第一個(gè)定義可以推出第二個(gè)定義。

假設(shè) \(F\) 有一個(gè)非零理想 \(I\)，其可取出一個(gè)元素 \(i\in I,i\ne 0\)。根據(jù) \(\text{ideal}\) 的定義，\(iR\subseteq I\)；根據(jù) \(\text{field}\) 的第一個(gè)定義，\(i^{-1}\in I\)（極其不規(guī)范的寫法），于是 \(ii^{-1}=1\in I\)。再用 \(\text{ideal}\) 的定義 \(1R=R\subseteq I\)，只能是 \(I=R\)，這是平凡的。

再考慮用第二個(gè)定義推出第一個(gè)。

考慮 \(\forall r\in R,r\ne 0\)，那么 \((r)\ne (0)\)，而 \(R\) 只有平凡理想，只能 \((r)=R\)，那么 \(\exists r^\prime\in R,rr^\prime=1\)。

Ring isomorphism theorem

類比群同構(gòu)第一定理，我們可以想到

\(\varphi:R\mapsto S\) 是 \(\text{ring homomorphism}\)，那么 \(R/\ker\varphi\cong\text{Im}\varphi\)。

和 \(\text{group}\) 中的情形一樣，猜測(cè) \(\pi:r+\ker\varphi\mapsto \varphi(r)\) 是一個(gè) \(\text{bijection}\)。

首先，如果 \(\varphi(r_1)=\varphi(r_2)\)，那么 \(\varphi(r_1+\ker\varphi)=\varphi(r_1)+0=\varphi(r_2)+0=\varphi(r_2+\ker\varphi)\)。

又有，如果 \(r_1+\ker\varphi=r_2+\ker\varphi\)，則有 \(r_1-r_2\in\ker\varphi\to\varphi(r_1)=\varphi(r_2)\)。

綜上即可得證。

另外兩個(gè)定理同樣可以改寫成環(huán)上的形式，只需要把 \(\text{group}\) 換成 \(\text{ring}\)（更多的時(shí)候，為了避免過于復(fù)雜的約束，是 \(\text{commutative ring}\)），把 \(\text{normal subgroup}\) 換成 \(\text{two-sided ideal}\)。

因?yàn)閮?nèi)容的排版出現(xiàn)了一些問題，本文到這里就先結(jié)束。咕咕咕咕咕咕。