我突然意識到也許知道上極限和下極限再來血這個會容易一點。QwQ

符號約定

\(\mathbb{N,Z,Q,R}\) 在之前已經構造了，應該不存在問題。

\(\log n\) 表示 \(n\) 取自然對數（也就是國內用的 \(\ln\)）。

歷史遺留問題

在 [[分析基礎 I]] 中提到不同定義下的 \(\mathbb{R}\) 是 \(\text{isomorphism}\) 的，當然，我們認定不管怎么聲明的 \(\mathbb{R}\)，\(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)。

現在需要證明 \(2\) 件事，一個是之前構造的 \(\mathbb{R}\) 是極大的阿基米德序域（我們把這樣的東西叫實數域），一個是不同的極大阿基米德序域同構。

假設存在 \(\mathbb{R}\subset A\)，滿足 \(A\) 也是阿基米德序域，取 \(B=A\setminus\mathbb{R}\)，\(b\in B\)。

考慮集合 \(C=\{r\in\mathbb{R}\mid r<b\}\)，根據阿基米德性，\(\exists n\in\mathbb{N}\quad s.t. b<n\)，于是 \(C\) 存在上界 \(n\)，運用確界原理，\(C\) 有上確界。

根據 \(C\) 的定義，\(\forall x\in[\sup C,b],x\not\in\mathbb{R}\)，故 \(\forall n\in\mathbb{N}^*,b-\sup C<\frac1n\)，那么 \(\forall n\in\mathbb{N},\frac{1}{b-\sup C}>n\)，與阿基米德性矛盾。

接下來證明不同的極大阿基米德序域同構。

上面的證明已經說明了完備是極大的，這里只需要證不完備的不是極大的就可以了，太 \(\text{trivial}\) 了，看這里吧（主要是因為這個證明是非標準分析的）

Measure

Riemann 積分

Riemann 可積

嚴格地說，積分和 \(\text{Riemann}\) 積分是不同的概念，\(\text{Riemann}\) 積分只是一種特定的積分方法。

求解曲線下的面積是一個非常古老的問題，然后大家都會定積分去做。

這里稍微推導一下。假設我們積分的函數是 \(f\)，考慮把區間 \([a,b]\) 分成 \(n\) 份，端點依次為 \(x_1,x_2,x_3\ldots x_n\)。我們求解每個小矩形的面積。注意，取左端點的函數值和取右端點的函數值，至少在這里，是不等價的，分別被稱為上/下 \(\text{Riemann}\) 和。于是考慮

其中

直覺是劃分得足夠細時會有 \(L([a,b])=R([a,b])\)，但這個描述不夠好。

注意到 \(\{x_n\}\) 本質上是對 \([a,b]\) 的劃分，考慮 \(\mathcal{P}\) 是 \([a,b]\) 上所有劃分構成的集合，那么定義

如果最后有 \(L=R\)，那么就記 \(\int_a^bf(x)\textw0obha2h00x=L=R\)，稱 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 \(\text{Riemann}\) 可積。

Riemann 可積的條件

其實上面已經說了，\(\text{Riemann}\) 可積的條件就是 \(L=R\)，但這個條件直接用不是很好用。

考慮嚴格化之前簡略的自然語言描述劃分得足夠細。簡單一點，使用 \(\epsilon-\delta\) 語言：

\({\color{red}\text{錯誤的定義:}}\)如果 \(f\) 在 \([a,b]\) 上滿足 \(\exists I\in\mathbb{R},\forall \epsilon>0,\exists\{x_n\},n\to+\infty\quad s.t.|L(f,[a,b],\{x_n\})-I|,|R(f,[a,b],\{x_n\})-I|<\epsilon\)。

這就是改寫了之前的極限，相當于 \(\int_a^bf(x)\textw0obha2h00x=I\)。

這個定義存在問題，比如考慮函數 \(f(x)=x^2\)，現在取 \(I=0\)，不消說這是錯的，考慮一種病態的劃分，所有 \(x_i=0\)，只有 \(x_n=1\)（當然，這里沒有約束 \(x_i\) 嚴格單增，但依然可以構造出反例，這里只是為了簡潔）。

導致這種問題的原因是我們的劃分不夠均勻，于是我們添加\({\color{red}\text{約束:}}\) \(\exists\delta>0,x_{k+1}-x_k<\delta\)。這樣很直觀地符合我們對面積的想法。

一般的教材上是直接采用 \(L\) 定義 \(I\)，但我覺得這種方法更簡潔。

比如說證明 \(\delta(x)=\begin{cases}&1&x\in\mathbb{Q}\\&0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}\) 是 \(\text{Riemann}\) 不可積的，只需要注意到 \(L\ge b-a\)，當取的 \(x_i\in\mathbb{Q}\) 時；\(R\le0\)，當 \(x_i\not\in\mathbb{Q}\) 時。

兩種定義的等價性大概就是考慮 \(m_i<f(x_i)<M_i\)，然后逼近就可以了。

不定積分

不會介紹技巧，至少不是這里。這里也不會討論求導的歷史，實際上，我們已經在 \(\text{if}\) 世界線狂奔了。

關于不定積分的歷史，可以看這里。

關于一些書寫上的技術細節，可以參考[這里]((2022)不定積分的一個根本性問題 - 知乎 (zhihu.com))。

Lebesgue 積分

首先，我們跨過過于繁雜的基礎知識……

無窮

之前說過，\(\mathbb{R}\) 是最大的阿基米德序域，如果引入了無窮 \(\pm\infty\)，那么 \(R=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}\) 一定不是阿基米德序域。這其實很自然，因為 \(\not\exists n\in\mathbb{N},n>+\infty\)，也就是不滿足阿基米德性。

每次擴域，我們都期望不改變之前有的性質，而 \(0\) 是乘法零元顯然就是一個很好的性質，于是 \(0\times(\pm\infty)=0\)。

注意區別這里和數學分析中的極限，這里的無窮就是一個”數“，不是一個極限，所以我們可以這樣約定來簡化運算。

此外，我們約定 \(\forall a\in\mathbb{R},-\infty<a<+\infty,a+\infty=+\infty,a-\infty=-\infty\)，非常符合直覺。為了避免這樣那樣的悖論，\(+\infty-\infty\) 是 undefined behavior。

這個時候我們看一個問題：\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_i\) 是什么意思？

容易知道

注意一般延拓有限的結論到可數和不可數的情形是不同的，這里的無窮求和都是可數項。這里提前使用后面測度的一點內容：不可數多個 \(0\) （注意，不是無窮小量這種逼近，是真的 \(0\)）加起來可以不是 \(0\)，實例就是點構成線段。

這里我們約定，發散可數數列求和結果為 \(\infty\)，正負需要具體分析。

級數

級數的定義，其實沒有那么重要。但學會熟練使用其實對 \(\text{Lebesgue}\) 積分也沒有上面幫助（大霧）所以也許可以跳過？

收斂的定義

考慮級數 \(\sum\limits_{0}^\infty a_i\)，我們想知道這個求和的結果是不是收斂的。形式化地定義級數收斂就是 \(\exists I\in\mathbb{R},\forall \epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,|\sum\limits_{i=1}^na_i-I|<\epsilon\)。

這個定義直接導出的一個結論就是 \(\exists M\in\mathbb{R},\forall n>m,\sum\limits_{i=m}^na_i<M\)，也就是截斷得到的后部一定有界。

Cauchy 收斂定理

數列 \(\{a_i\}\) 收斂當且僅當 \(\{a_i\}\) 是 \(\text{Cauchy}\) 序列。研究級數收斂，只需要研究其前綴和是否收斂。

回顧一下 \(\text{Cauchy}\) 序列的定義：\(\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n,m>N,|a_n-a_m|<\epsilon\)。

之前構造 \(\mathbb{R}\) 的時候好像已經接受了必要性，然后證明了充分性……

關于求和順序

交換求和順序是常見的，但在無窮的情形下我們不能自由地交換求和順序。考慮這個例子 \(\sum_{i=1}^\infty\frac{(-1)^{i+1}}{i}=\log 2\)。

接下來，證明交換求和順序后 \(\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i}\) 可以收斂到任意實數 \(C\)。

不難證明 \(1+\frac13+\frac15\ldots\) 是發散的，所以可以截取其中前若干項使得其和恰好 \(>C\)。之后按照以下順序求和：先加入負項 \(-\frac12,-\frac14,-\frac16\ldots\)，因為負項也是發散的，所以一定可以使得當前和恰好 \(<C\)；然后重新加入正項，使之恰好 \(>C\)……

因為正項和負項的截斷都無界，所以這個流程可以把所有數都填進去。“恰好”意味著加入 \(\pm\frac1n\) 后，\(|S-C|<\frac1n\)（\(S\) 表示躺槍求和得到的結果），誤差的確可以任意小。

我們也沒有什么好辦法，只能說這個數列的求和順序使不難交換的。回顧上面的證明過程，可以發現正項和負項都不收斂導致了這個問題。

容易證明，如果正項和負項分別收斂，那么級數一定收斂（運用之前的內容即可）。所以那些正項或負項發散的級數比較特別，值得我們給個名字。

上文的自然語言描述顯得比較繁瑣，一個簡化的方式是考慮 \(\sum_{i\in\mathbb{N}}|a_i|\) 收斂與否，容易驗證兩者本質相同。

如果一個級數本身收斂，但取絕對值之后發散，那我們稱其為條件收斂；如果取絕對值之后也收斂，那我們稱其為絕對收斂。

有 \(\text{Riemann}\) 級數定理：

絕對收斂的級數可以任意交換求和順序，條件收斂和發散的則不行。

絕對收斂的結論可以參考絕對收斂級數的運算定律，而條件收斂的反例構造和上文類似。

這里也告訴我們，之前學得加法交換律只是有限加法交換律，即使推廣到可數上都不一定是對的。

Aixom of choose

其實我們之前的過程已經接受選擇公理了，這里只是為了避免后面出現奇奇怪怪的問題直接列出而已。

如果 \(\forall i,\exists x,i\in I\to x\in U_i\)，那么 \(\exists f,\forall i,i\in I\to f(i)\in U_i\)。

直觀上，\(\text{AC}\)（選擇公理）只是交換了量詞的順序，對于有限的情況是顯然的。但對于無窮的情況，這不是很顯然，實際上 \(\text{AC}\) 和 \(\text{ZF}\) 公理體系是獨立的，也就是說 \(\text{ZF}\) 不能證明也不能證偽 \(\text{AC}\)。這就是我們之前說的，你只能接受或不接受。（據我所知，\(\text{AC}\) 是唯一一個如此廣泛的被接受的獨立于 \(\text{ZF}\) 公理體系的公理。）

Metric space

寫在這里的主要原因是害怕之后忘了……什么大雜燴。所以只介紹基本的概念。

定義距離（\(\text{Metric/Distance}\)）是一個二元函數 \(\rho\)，滿足：

1. 正則性：\(\rho(x,y)\ge 0\)，\(\rho(x,y)=0\) 當且僅當 \(x=y\)；
2. 對稱性：\(\rho(x,y)=\rho(y,x)\)；
3. 三角不等式：\(\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)\)。

一個集合 \(X\) 裝備一個距離 \(\rho\) 就得到一個度量空間（\(\text{metric space}\)）。

度量的本能

終于，我們開始引入 \(\text{Lebesgue}\) 積分了。

\(3\) 歲小孩也知道”大小“的概念。”大小“更高端一點的說法就是”度量“或”測度“。

學過一點數學的多少有一點測度的本能，比如線段長為 \(l\)，正方形的體積是 \(l^2\)，正方體的體積是 \(l^3\)，那么 \(4\) 維正方體的 \(4\) 維積也應該是 \(l^4\)，依次類推。

集合論告訴我們，\(\mathbb{R}^n\) 本質上都是集合。于是一個 \(\text{naive}\) 的想法是研究一種對集合本身大小的度量方式，這樣的度量我們用一個符號 \(\int\) 表示，這就是積分最原本的思想。

\(\#\) 這里也可以看出可數和不可數的區別，比如一個點是沒有長度的（或者說 \(1\) 維測度為 \(0\)），可數多個點加起來也沒有長度，但一條線段（不可數多個點）是由長度的。

考慮一個超立方體 \(A=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\ldots\times[a_n,b_n]\)，考慮所謂的示性函數 \(\chi_E(x)=\begin{cases}&1&x\in E\\&0&x\not\in E\end{cases}\)（有的地方也寫成 \(\mathbf{1}_E(x)\)），那么必有 \(\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{A}(x)\textw0obha2h00x\)，但凡猶豫一秒都是對自己直覺的鄙視。

此外，我們還希望有一些性質：\(\int\chi_\varnothing(x)\textw0obha2h00x=0\) 和 \(\forall i,j\in[1,n]\cap\mathbb{N},A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow \int\chi_{\bigcup A_i}(x)\textw0obha2h00x=\sum_{i=1}^n\int\chi_{A_i}(x)\textw0obha2h00x\)，即對不交的有限和等于并。

從區間開始

度量區間的長度，直觀上說 \((a,b),[a,b),(a,b],[a,b]\) 的長度都是 \(b-a\)（聰明的同學會注意到其實只需要定義 \((a,b),[a,b]\) 的長度就可以了）。

這時，我們就要回顧 無窮 部分提到的例子了：

不可數個測度為 \(0\) 的點加起來可以構成測度不為 \(0\) 的線段。

目前還沒有書寫不可數項相加的工具，這里引入 \(\text{index set}\)（指數集）來解決。數列的下標，不一定是自然數，比如我們也可以寫 \(X_a,X_b\ldots\)，這時繼續叫下標不太好，我們就叫 \(\text{index}\)，也就是用來編號的一些東西。

之前說過，\(\mathbb{R}\) 是不可數的，那我們直接用 \(\mathbb{R}\) 做 \(\text{index set}\) 不就好了。

現在考慮和式：（\(A\) 是不可數的 \(\text{index set}\)）

和之前一樣，我們先考慮其是否收斂。一般來說，我們討論的測度都是正的，所以這里可以假設 \(x_\alpha\ge0\)，那我們討論的收斂和絕對收斂就沒有區別了。

顯然，如果其中有可數多項 \(x_\alpha>0\)，就發散。（如果真的希望研究不可數個數的求和，是沒有這個性質的）

于是對于 \(x_\alpha\ne 0\)，至多有可數項，可以運用之前的知識解決。現在的問題變成了不可數個 \(0\) 的求和。

Well-defined?

在求解可數求和時，我們默認采用了這樣的定義（或其他等價的定義）：

但對于不可數的情形，這個定義不好用（只需要注意到上面定義中無窮個 \(0\) 的加和一定是 \(0\)）。小學生都知道割補法的原理是不同的方法把同一個對象拼起來的大小不變，形式化地，我們希望定義的測度 \(\mathfrak{l}\) 滿足：

解決問題的方法不少，比如一個常見的直覺是假設 \(\mathfrak{l}(\varnothing)=0,\mathfrak{l}(\{x\})=\epsilon\)，但我不會……所以這里采用一種暴力的 \(\text{naive}\) 做法：只允許可數個區間滿足上面的式子。

你可以覺得被雷普了，覺得理想中的測度是這樣的：

1. 所有區間都由“點”構成（“點”在這里只恰有一個元素的集合）；
2. \(\mathfrak{l}(I)\in\mathbb{R}^+\cup\{0\}\)；
3. 每個集合都可測；
4. 測度具有平移不變性（這里的平移是抽象的）；
5. 測度的任意不交并等于測度加。

但這樣的測度可以證明是不存在的……我們必須放棄一些性質（比如引入 \(\epsilon\) 本質上是放棄了 \(2\)）。這里我們選擇放棄 \(5\)。

長度

為了符合實際，我們對于 \((a,b),[a,b]\) 可以定義其長度為 \(b-a\)。對于別的集合，考慮用已知的區間去擬合，形式化地，考慮

\(\#\) 注意 \(\forall i,j\in\mathcal{I},I_i\cap I_j=\varnothing\)。

\(\#\) 如果愿意，設 \(I_i=[a_i,b_i]\) 也不會有什么問題。其實定義的時候只定義 \(I_i\) 用的那種區間的長度就好了。

這里沒有使用“測度”，因為測度有自己的嚴格定義，這樣得到的 \(\mathfrak{l}\) 被稱為外測度（\(\text{outer measure}\)），非常形象地描述了用更大的集合從外側逼近嚴格集合的過程。

經過一些 \(\text{trivial}\) 的過程，我們可以證明對于區間任意把玩都不會出事，更嚴格地說，區間可數交并構成的集合都可以。之后不嚴格地將這些集合稱為 \(\text{Borel}\) 集。

但是看到這個性質

我們的定義翻車了……

Cantor set

為什么寫這個呢？因為我一開始把不可數和不可測搞混了……

最廣為人知的 \(\text{Cantor set}\) 是三分構造的。考慮遞歸構造：\(A_0=[0,1],A_1=[0,\frac13]\cup[\frac23,1],A_2=[0,\frac19]\cup[\frac29,\frac13]\cup[\frac23,\frac79]\cup[\frac89,1]\ldots\)，就是每次三等分，去掉中間的部分，最后取 \(C=\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i\) 就得到了 \(\text{Cantor set}\)。

容易注意到 \(A_{n+1}-A_n=\frac{2^n}{3^{n+1}}\)。

運用高中生熟練掌握的等比數列求和可知

注意到 \(C\) 中實際上是那些 \(3\) 進制下沒有 \(1\) 的數，\(C\) 和 \(\mathbb{R}\) 可以建立一一對應關系，或者說，它們是等勢的。于是我們知道一個集合的測度和它的勢沒有什么關系。

但如果我們不采用三分，比如四分，那么我們就會得到 \(\mathfrak{l}(C_4)=\frac12\)。

Vitali set

定義等價關系 \(x\sim y\leftrightarrow x-y\in\mathbb{Q}\)。設 \(A=\{[x]:x\in[0,1]\}\)，其中 \([x]\) 表示以 \(x\) 為代表元的等價類。現在運用 \(\text{AC}\)，可以從每個 \([x]\) 中選出一個元素 \(x\)，放到一起得到一個集合 \(V\)，這就是 \(\text{Vitali set}\)。（構造主義的好時代來臨哩，可以不用選擇公理）

這個集合也沒有什么特點，也就是不可測而已，即沒有測度。

(1). \(\mathfrak{l}(V)=0\)，那么 \(\mathfrak{l}(R)=\sum_{q\in\mathbb{Q}}\mathfrak{l}(V+q)=0\)，矛盾。
(2). \(\mathfrak{l}(V)>0\)，那么 \(\mathfrak{l}([-1,2])\ge\sum_{q\in[0,1]\cap\mathbb{Q}}\mathfrak{l}(V+q)=\infty\)，矛盾。

綜上，可以斷言 \(\mathfrak{l}(V)\) 不存在。但是別急，\(V\) 雖然沒有測度，但可以有外測度。此時兩者混用一個符號就不好了，之后我們用 \(m\) 表示外測度。

不過這個時候，\(\mathbb{R}\) 的完備性就會出來進行毒打，\(V\) 的外測度和選擇的方式有關！顯然，\([x]\) 的代表元可以都任意小，因為 \(\mathbb{Q}\) 也是稠密的，\(\forall\epsilon>0,\exists q\in\mathbb{Q},0<x-q<\epsilon\)。所以 \(\inf m(V)=0\)。

接下來考慮 \(\sup m(V)\)。設 \(\mathcal{B}=\{B:B\subset[0,1]\}\)，其中 \(B\) 是 \(\text{Borel}\) 集。經過一些和分析無關的困難，可以證明 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathbb{R}\) 等勢，在多數情況下，這被簡寫為 \(\sharp\mathcal{B}=c\)。我們可以對做到每個 \(B\in\mathcal{B}\) 中都有至少一個 \(x\in V\)。（其實這是不太容易的，需要超限遞歸，也許之后 \(\text{googology}\) 的時候會提及一下？）反正這個時候，每個 \(B\) 中都有 \(V\) 的元素，于是 \(\sup m(V)=1\)。

然后考慮 \([0,1]\setminus V\)，可以發現不管怎么樣都有 \(m([0,1]\setminus V)=1\)，于是

雖然符號約定都變了，但我們的確說明了外測度不能對任意集合滿足可加性。

Lebesgue measurable

于是之后在考慮外測度或測度時，我們需要謹慎地選擇那些有良好性質的集合才行。這樣的性質被稱為 \(\text{Lebesgue measurable}\)，一般中文就叫“可測”。

非常 \(\text{naive}\) 地，我們直接修復上文提到的 \(\text{bug}\)，規定：對于集合 \(X\)，如果\(\forall\epsilon>0,\exists\{(a_i,b_i)\},X\subset\bigcup_{i}(a_i,b_i)\wedge m\big(\bigcup(a_i,b_i)\setminus X\big)<\epsilon\)，那么 \(X\) 就是 \(\text{Lebesgue measurable}\) 的。用自然語言說就是差集可以任意小，那就沒有 \(\text{Vitali set}\) 什么事了。

另外一種更常見的等價定義是：滿足 \(\forall Y\subset\mathbb{R},m(Y)=m(X\cap Y)+m\big(X\cap(\mathbb{R}\setminus Y)\big)\) 的 \(X\) 可測。還有一些諸如可數并、可數交、求補集不改變可測性的證明是很 \(\text{trivial}\) 的，幾乎就是 \(\epsilon-\delta\) 語言書寫練習的翻版，技術細節我們選擇掛到外面，注意兩邊符號約定有點小差別。

Lebesgue 積分

有一些常見的函數沒有 \(\text{Riemann}\) 積分，比如 \(\delta(x)=\begin{cases}&1&x\in\mathbb{Q}\\&0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}\)，但大家都有一種直覺，因為 \(\mathbb{Q}\) 和 \(\mathbb{R}\) 比起來很“稀疏”，所以 \(\int_0^1\delta(x)\textw0obha2h00x=0\) 時很恰當的。

反思 \(\text{Riemann}\) 積分的局限性，就是過于關注連續的結構，于是自然可以想到一種依賴值域而非定義域的積分方式，這就引出了 \(\text{Lebesgue}\) 積分。

一個形象的例子：\(\text{Riemann}\) 當收銀員，每收一次錢就加到總額上，最后就得到了總額；\(\text{Lebesgue}\) 統計每種面額的數目，然后用面額乘數目加起來就得到了總額。

考慮一類名為”簡單函數“的函數：

再考慮 \(\xi_A(x)=A\chi_{A}\big(f(x)\big)\)，相當于選擇出一個特定的函數值。對于這樣簡單函數的組合的積分，我們是會求的。（其實沒有那么顯然，需要用之前關于測度的內容證明一下）

一個直觀的想法是讓 \(A\) 取遍 \(f\) 的值域的同時 \(x\) 取遍 \(f\) 的定義域，加起來就可以得到 \(\int f\)。

這樣的描述顯然過于自然語言，考慮和 \(\text{outer measure}\) 一樣的思路，使用一側去逼近。這樣我們可以定義出上積分和下積分。

因為通常，我們關心一個積分是否發散，而如果下界都是 \(\infty\)，那當然是發散的。所以往往只考慮下積分 \(\underline{\int}\)。

形式化地，考慮一個簡單函數的組合 \(s\)，滿足 \(\forall x,0\le s(x)\le f(x)\)，那么 \(\underline{\int}f=\sup\{\int s\}\)。于是，我們直接采用 \(\underline{\int} f\) 作為 \(\int f\) 就可以了，特別地 \(\underline{\int}f=\pm\infty\) 時，稱 \(\int f\) 發散。

上面解決了非負函數的問題，但大家應該還記得之前條件收斂的鍋，積分收斂也是條件收斂，\(\int|f|\) 收斂叫絕對收斂，所以一般的教材上是分 \(+\) 部和 \(-\) 部討論得到整體的積分值的。

后記

\(\text{I am under mental attack!}\)

寫到最后神志不清，可能不如網上一般的資料，但前面比較痛苦的部分應該寫得差不多了。后續還可能介紹一種在 \(\mathbb{R}^n\) 上更強的積分，參考 Henstock–Kurzweil integral - Wikipedia。

是不是該寫一點奇技淫巧的內容了？