設\(X\), \(Y\)是\(\mathbb{K}\)(\({\mathbb{R}}\)或\(\mathbb{C}\))上的Banach空間, \(B(X,Y)\)是\(X\)到\(Y\)的所有有界線性算子之集.

命題1. 設\(T\in B(X,Y)\). 則
(1)\(\ker T\perp\operatorname{im}T^*\);
(2)\(\ker T^*\perp\operatorname{im}T\).
證明. 直接驗證即可. \(\blacksquare\)

推論2. 上面的命題直接告訴我們:
(1)\(\ker T\subset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\operatorname{im}T^*\subset(\ker T)^\perp\);
(2)\(\ker T^*\subset(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\operatorname{im}T\subset\ ^\perp(\ker T^*)\).

自然, 我們希望上面的所有包含號實際上都是等號. 但是首先一個問題是, \(T\)和\(T^*\)的值域不一定是閉的; 而對任何集合\(A\subset X\), \(A^\perp\)總是閉的, 對任何\(B\subset X^*\), \(^\perp B\)也總是閉的. 所以我們退一步, 希望

• \(\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\);
• \(\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\overline{\operatorname{im}T}=\ ^\perp(\ker T^*)\).

這看起來有點不太好記/不美觀, 因為有的加了閉包, 有的沒有加. 不過我們可以注意到一件事:

命題3. (1)設\(M\)是\(X\)的子空間, 則\(M^\perp=\overline M^\perp\);
(2)設\(M\)是\(X^*\)的子空間, 則\(^\perp M=\ ^\perp\overline M\).
證明. (1)由于\(M\subset\overline M\), 有\(M^\perp\supset\overline M^\perp\). 但是任何在\(M\)上為零的連續線性泛函也在\(\overline M\)上為零, 故\(M^\perp\subset\overline M^\perp\).
(2)由于\(M\subset\overline M\), 有\(^\perp M\supset\ ^\perp\overline M\). 另一方面把\(X\)中的元素看作\(X^*\)的連續線性泛函, 和上面一樣的論證即可得到\(^\perp M\subset\ ^\perp\overline M\). \(\blacksquare\)

這告訴我們, 寫\(\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp\)是可以的, 寫\(\ker T=\ ^\perp(\overline{\operatorname{im}T^*})\), \(\ker T^*=(\overline{\operatorname{im}T})^\perp\)也是可以的, 這兩種寫法是完全一樣的.

現在我們來證明主要的命題.

命題4. 設\(T\in B(X,Y)\), 則
(1)\(\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\overline{\operatorname{im}T^*}\subset(\ker T)^\perp\);
(2)\(\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\overline{\operatorname{im}T}=\ ^\perp(\ker T^*)\).
證明. (1)前面推論2已經證明了一半(注意由于\((\ker T)^\perp\)是閉的, 所以\(\operatorname{im}T^*\subset(\ker T)^\perp\)說明\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subset(\ker T)^\perp\)), 所以我們只需要證明\(\ker T\supset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\)就好了.
設\(x\in\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), 對任何\(f\in Y^*\), 有\(\langle Tx,f\rangle=\langle x,T^*f^*\rangle=0\), 故\(Tx=0\), \(x\in\ker T\). 這就說明了\(\ker T\supset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\).
(2)同樣地, 推論2已經證明了一半, 我們只需要證明\(\ker T^*\supset(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)\). 和(1)同樣的論證可以證明\(\ker T^*\supset(\operatorname{im}T)^\perp\)(我檢查過了). 現在來證明\(\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)\).
任取\(y\notin\overline{\operatorname{im}T}\), 我們來證明\(y\notin\ ^\perp(\ker T^*)\). 由Hahn-Banach延拓定理, 存在\(f\in Y^*\)使得\(f|_{\overline{\operatorname{im}T}}=0\), \(f(y)=1\).這樣一來, \(T^*f=0\), 但\(\langle y,f\rangle=1\ne0\), 故\(y\notin\ ^\perp(\ker T^*)\). 這說明\(\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)\). \(\blacksquare\)

這個結論十分對稱好記, 只是非常可惜有一點點瑕疵. 事實上如果試圖像上面一樣用Hahn-Banach定理證明\(\overline{\operatorname{im}T^*}\supset(\ker T)^\perp\)時會發現由于\(X\)不一定自反, 類似的論證翻車了(請自行檢查, 我檢查了). 如果\(X\)自反, 那么瑕疵就被修復了. 我們把這段評述寫成命題.

命題5. 設\(X\)自反, \(T\in B(X,Y)\), 則\(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\).

另一種修復瑕疵的方式是通過閉值域定理(即\(\operatorname{im}T\)閉等價于\(\operatorname{im}T^*\)閉)的一半.

命題6. 設\(T\in B(X,Y)\), 且\(\operatorname{im}T\)閉, \(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\).
證明. 把\(T\)沿著\(\operatorname{coker}T=X/\ker T\)分解, 即

\[X\overset{\pi}{\rightarrow}X/\ker T\overset{\widetilde{T}}{\rightarrow}\operatorname{im}T\overset{i}{\rightarrow}Y \]

這樣有\(T=i\widetilde T\pi\), 故\(T^*=\pi^*\widetilde T^* i^*\). 注意由于\(\operatorname{im}T\)是閉的, 我們有\(\widetilde T\)是拓撲同胚, \(\widetilde T^*((\operatorname{im}T)^*)=(X/\ker T)^*\). 由Hahn-Banach定理, 又有\(i^*(Y^*)=(\operatorname{im}T)^*\), 所以\(T^*(Y^*)=\pi^*\widetilde T^* i^*(Y^*)\) \(=\pi^*\widetilde T^*((\operatorname{im}T)^*)=\pi^*((X/\ker T)^*)=(\ker T)^\perp\). 最后一步是因為子空間和商空間的對偶, 即\(\pi^*\)是\((\operatorname{im}T)^*\)到\((\ker T)^\perp\)的保范同構(自己驗證).
這個論證(實際上這個論證還證明了閉值域定理)說明\(\operatorname{im}T^*=(\ker T)^\perp\), 結論由此易得. \(\blacksquare\)

最后一件事情是, 這個瑕疵是真實存在的嗎? 畢竟無法證明\(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\)不代表它們真的不相等. 下面我們會看到, 確實存在這樣的例子, 使得\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq(\ker T)^\perp\).

例7(來自StackExchange). 考慮\(X=Y=l^1\), \(T((x_n))=(x_n/n)\), 則\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq(\ker T)^\perp\).
證明. 顯然\(\ker T=0\), 故\((\ker T)^\perp=(l^1)^*\cong l^\infty\). 我們只需要證明\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq l^\infty\).
我們來計算\(\operatorname{im}T^*\). 對\(f=(f_n)\in l^\infty\), 可以算出\(T^*f=(f_n/n)\in c_0\), 這里\(c_0=\{f\in l^\infty|\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=0\}\)是\(l^\infty\)的閉子空間(自己驗證). 從而\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subset c_0\subsetneq l^\infty\). \(\blacksquare\)