給定正整數\(a\)，令\(f(x)=x^2+x-a\)，求證：
(1).對于自然數\(n\)如果\(f(n)\)為完全平方數，那么\(n\leq a\)
(2).僅存在一個自然數\(n\)使得\(f(n)\)為完全平方數的充要條件為\(4a+1\)是質數
(1)：如果\(f(n)\)為完全平方數，那么存在整數\(k\)使得\(n^2+n-a=k^2\)。
反證法，假設\(n>a\)，那么\(n^2-k^2=a-n\leq 0,n<k\)
所以\(n+1\leq k,n^2-k^2=a-n\leq n^2-(n+1)^2=-2n-1\)，所以\(a+n\leq -1\)，由于\(a,n\)都是自然數這不可能。
(2)：顯然\(f(n)\)為完全平方數的充要條件是存在非負整數\(k\)使得\(n^2+n-a=k^2\)。
對這個等式兩邊同乘\(4\)減\(1\)得到\(4n^2+4n-4a-1=4k^2-1\)，所以\(f(n)\)為完全平方數的充要條件是存在自然數\(k\)使得\(4n^2+4n+1-4k^2=4a+1=(2n-2k+1)(2n+2k+1)\)。由于\(k\geq 0\)，顯然\(2n-2k+1\leq 2n+2k+1\)
由于\(a\)是正整數，\(4a+1>1\)。假如\(4a+1\)是質數，那么\(2n-2k+1=1,n=k,2n+2k+1=4a+1,n=k-a\)是唯一解。
假如\(4a+1\)是合數，那么存在整數\(c,d\geq 2,c\leq d\)使得\(cd=4a+1\)。因為\(4a+1\)是奇數，\(c,d\)是奇數。
\(4|c-d\)。因為假如\(c-d\)不能被\(4\)整除，WLOG設\(c\equiv 1(\mod 4),d\equiv 3(\mod 4)\)，所以\(cd\equiv 3(\mod 4)\)，和\(cd=4a+1\)矛盾。
令\(2n-2k+1=c,2n+2k+1=d\)，解得\(k=\frac{d-c}{4}\)（一定是非負整數，因為\(4|c-d\)而且\(c\leq d\)），\(x=\frac{c+d-2}{4}\)（一定是正整數，因為\(c,d\equiv 1(\mod 4)\)或者\(c,d\equiv 3(\mod 4)\),\(c+d\equiv 2(\mod 4)\)而且\(c,d\geq 2\)所以\(c+d-2>0\)）
\(x\)不等于\(a\)，因為如果\(x=a,4x+2=c+d=4a+2,cd=4a+1\)，所以\(c,d\)是方程\(y^2-(4a+2)+4a+1,(y-4a-1)(y-1)\)的兩個根，由于\(c\leq d,4a+1>1\)，\(c=1,d=4a+1,\)矛盾。所以通過該方法我們找到了\(4n^2+4n-4a-1=4k^2-1\)的另一個解\(x\neq a\)。所以對于這種情況存在至少\(2\)個自然數\(n\)使得\(f(n)\)為完全平方數。
取逆否命題可得如果僅存在一個自然數\(n\)使得\(f(n)\)，\(4a+1\)是質數。證畢。