(1)先證明\(x_n>0\)，使用歸納法，假設\(x_n>0\)，\(x_n=x_{n+1}+\ln(1+x_{n+1})\)
設\(f(x)=x+\ln(1+x),f'(x)=1+\frac{1}{1+x}>0,f(x)\)在\((0,+\inf)\)單調遞增
\(f(0)=0,x_n>0,f(x_{n+1})=x_n>f(0)>0\)
再證明\(x_n>x_{n+1},x_n-x_{n+1}=\ln(1+x_{n+1}),x_{n+1}+1>1\)所以\(x_n-x_{n+1}>0,x_n>x_{n+1}\)
(2)\(2x_{n+1}-x_n<\frac{x_nx_{n+1}}{2},x_n=x_{n+1}+\ln(1+x_{n+1})\)
所以要證\(x_{n+1}-\ln(1+x_{n+1})<\frac{x_{n+1}^2+x_{n+1}\ln(1+x_{n+1})}{2},x_{n+1}^2+(x_{n+1}+2)\ln(1+x_{n+1})-2x_{n+1}>0\)
構造\(g(x)=x^2-2x+(x+2)\ln(x+1),g'(x)=2x-1+\frac{1}{x+1}+ln(x+1),g''(x)=2+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\)
當\(x>0,g''(x)=(x+2)(2x+1)>0\)所以\(g'(x)\)在\((0,+\inf)\)單調遞增
\(g'(0)=0\)，所以當\(x>0,g'(x)>0\)，所以\(g(x)\)在\((0,+\inf)\)單調遞增，\(g(0)=0\)，所以當\(x>0,g(x)>0\)
根據第一問結論，\(x_{n+1}>0,f(x_{n+1})>0\)，得證
(3)\(n=1\)顯然成立。
使用數學歸納法，假設對于所有\(i=1...n\)結論成立
根據經典不等式，\(x_n=x_{n+1}+\ln(1+x_{n+1})<2x_{n+1}\)
所以\(\frac{1}{2}<\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\)
所以\(\frac{1}{2^n}<\frac{x_{n+1}}{x_1}=x_{n+1}\)（累乘法）
考慮第二問結論：轉化成\(\frac{2}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}<\frac{1}{2}\)
所以\(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{x_n},1-\frac{n}{2}+\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}\leq \frac{1}{x_{n+1}}\)
根據歸納假設，\(2^{n-2}\leq \frac{1}{x_n},1-\frac{n}{2}+2^{1-2}+...+2^{n-2}=\frac{1}{2}+2^{n-1}-\frac{n}{2}\leq 1-\frac{n}{2}+\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}\leq \frac{1}{x_{n+1}}\)
所以\(x_{n+1}\leq\frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1}{\frac{1}{2}+2^{n-1}-\frac{n}{2}}\)