(1)考慮證明當\(k>0,n>k,-a_n<2^{n-k}(|a_k|-2)<a_n\)
當\(|a_k|\leq 2\)，此時\(2^{n-k}(|a_k|-2)<0<|a_n|\)，得證
當\(|a_k|>2\)，\(|a_n-\frac{a_{n+1}}{2}|\leq 1,2a_n-2\leq a_{n+1}\leq 2a_n+2\)
使用數學歸納法，假設\(2^{n-k}(|a_k|-2)<|a_n|,-a_n<2^{n-k}(|a_k|-2)<a_n\)，證明\(-a_{n+1}<2^{n-k+1}(|a_k|-2)<a_{n+1}\)
\(-a_n<2^{n-k}(|a_k|-2),-2a_n<2^{n-k+1}(|a_k|-2)\)，和\(2a_n-2\leq a_{n+1}\)相加得到\(-2-a_{n+1}\leq 2^{n-k+1}(|a_k|-2)\)
\(2^{n-k}(|a_k|-2)<a_n,2^{n-k+1}(|a_k|-2)<2a_n\)就是\(-2a_n<-2^{n-k+1}(|a_k|-2)\)，和\(2a_n-2\leq a_{n+1}\)相加得到\(-2<-2^{n-k+1}(|a_k|-2)+a_{n+1},2^{n-k+1}(|a_k|-2)<a_{n+1}+2\)
所以\(-2-a_{n+1}\leq 2^{n-k+1}(|a_k|-2)<2+a_{n+1}\)，得證
令\(k=1\)得證
(2)反證法，假設存在\(a_k\)讓\(|a_k|>2\)，設\(p\)為最小的\(p\)讓\(|a_p|>2\)。
根據前面結論，對于所有\(l>0,|a_{p+l}|>2^l(|a_p|-2)\)
由于\(|a_{p+l}|<(\frac{3}{2})^{p+l}\)，對于所有\(l>0\)，\(2^l(|a_p|-2)<(\frac{3}{2})^l<(\frac{3}{2})^{p+l},\frac{2^l}{(\frac{3}{2})^{l}}=(\frac{4}{3})^l<\frac{1}{|a_p|-2|}\)
但是當\(l\)是最小的正整數滿足\(l>\log_{\frac{4}{3}}\frac{1}{|a_p|-2}\)，\((\frac{4}{3})^l>\frac{1}{|a_p|-2}\)，矛盾，得證