一、算法原理與模型

1. 秩極小化模型

• \(X\)：圖像分塊后的低秩矩陣（大小為N×N）
• \(Φ\)：測量矩陣（壓縮感知投影）
• \(∥X∥\)?：矩陣核范數（奇異值之和）

2. 非凸正則化改進

采用加權伽馬范數替代傳統核范數：

• \(σ_i\)：奇異值
• \(γ_i\)：自適應權重系數

二、MATLAB核心代碼實現

%% 參數設置
clear; clc; close all;

% 圖像參數
img = imread('lena.png'); 
img = im2double(rgb2gray(img));
[N, M] = size(img);
block_size = 8;  % 分塊尺寸
overlap = 4;     % 塊重疊

% 測量矩陣
m = round(0.25*N*M);  % 壓縮率25%
Phi = randn(m, N*M); 
Phi = Phi ./ sqrt(sum(Phi.^2, 2));  % 歸一化

% 非凸正則化參數
gamma = [0.1, 0.5, 1.0];  % 自適應權重
lambda = 0.1;             % 正則化強度

%% 圖像分塊與低秩矩陣構建
blocks = im2col(img, [block_size block_size], 'distinct');
X = blocks';  % 轉置為N×(M^2)矩陣

%% 測量過程
y = Phi * X(:);

%% 秩極小化重建
tic;
[X_recon, ~] = admm_gamma_rank_min(y, Phi, m, N*M, gamma, lambda, 1e-5, 100);
toc;

%% 圖像重構
X_recon = reshape(X_recon, [N, M]);
recon_img = col2im(X_recon', [block_size block_size], size(img), 'distinct');

%% 后處理
recon_img = imgaussfilt(recon_img, 1);  % 高斯濾波去塊效應

三、關鍵函數實現

1. ADMM優化算法

function [X, history] = admm_gamma_rank_min(y, A, m, n, gamma, lambda, rho, max_iter)
    % 初始化變量
    X = zeros(n,1);
    Z = X;
    U = X;
    
    % 預計算矩陣
    At = @(x) A' * x;
    AAt = A' * A;
    
    history.objval = zeros(max_iter,1);
    
    for k = 1:max_iter
        % 更新X: min_X ||X||_gamma + (rho/2)||X - Z + U||^2
        X = prox_gamma_l0(Z - U, rho, gamma);
        
        % 更新Z: min_Z ||AZ - y||^2 + (rho/2)||Z - X + U||^2
        Z = (AAt + rho*eye(n)) \ (A * y + rho*(X - U));
        
        % 更新U
        U = U + X - Z;
        
        % 計算目標函數值
        history.objval(k) = 0.5*norm(A*X - y)^2 + lambda*sum(gamma.*log(1 + X.^2));
        
        % 收斂判斷
        if k > 1 && abs(history.objval(k) - history.objval(k-1)) < 1e-6
            break;
        end
    end
end

2. 非凸正則化投影

function X = prox_gamma_l0(X, rho, gamma)
    % 非凸軟閾值操作
    sigma = 1/sqrt(rho);
    X = sign(X) .* max(abs(X) - gamma*sigma, 0);
end

參考代碼 基于秩極小化的壓縮感知圖像重建及其代碼實現 www.youwenfan.com/contentcnk/79211.html

四、仿真結果分析

五、改進

1. 自適應分塊策略

   動態調整分塊大小以適應圖像紋理變化：

   block_size = 8 + round(4*sin(2*pi*mod(block_idx,5)/5));
   

2. 并行計算加速

   使用GPU加速矩陣運算：

   X_gpu = gpuArray(X);
   Phi_gpu = gpuArray(Phi);
   y_gpu = Phi_gpu * X_gpu;
   

3. 混合正則化

   結合核范數與總變差約束：

   obj = @(X) sum(gamma.*log(1+X.^2)) + 0.1*tv_norm(X);