Problem

已知數(shù)列 $ { a_n } $ 的前 $ n $ 項(xiàng)和為 $ S_n $，滿足 $ S_{n+1} = 2a_n^ { \hspace{0.2cm} 2} - 1 + S_n (n\in N^{*})$ 。

(1)略。

(2)當(dāng) $ a_1 \in [ \frac{ \sqrt{2} } {2} ,1 ]$ 時(shí)，求 $ 4a_1-a_3 $ 的最大值；

(3)當(dāng) $ a_1 \in [-1,1] $ 時(shí)，記數(shù)列 $ { a_n } $ 的前 $ n $ 項(xiàng)積為 $ T_n = \prod_{i=1} ^ {n} a_i $，求 $ \sqrt{ 1- a_1^ { \hspace{0.2cm} 2} } · T_{50} $ 的最大值。

Solution

(2)

由題可知，$ a_3=8a_1 ^{ \hspace{0.2cm} 4} - 8a_1^{ \hspace{0.2cm} 2} +1 $。設(shè) $ t=a_1 $ 那么

則 $ h'(t)= -32t^3+16t+4= 4(-8t^3+4t+1) $ 。

因?yàn)?$ h'(-\frac{1}{2} ) =0$ ，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解可得

$ \because t\in [ \frac{ \sqrt{2} } {2} ,1 ] $

$ \therefore \frac{\sqrt{2}}{2} < t < \frac{ 1+ \sqrt{5} }{4} , h'(t) > 0,h(t) $ 遞增，$ \frac{ 1+ \sqrt{5} }{4} <t < 1 , h'(t) < 0,h(t) $ 遞減。

$ \therefore { (4a_1-a_3 ) } _ {max} = h(t) _ {max} = \frac{ 5(1+ \sqrt{5} ) }{4} $ 。

(3)

$ \because a_1 \in [-1,1] $

$ \therefore \cos{\alpha_1} =a_1 , a_{n+1}= 2a_n^ { \hspace{0.2cm} 2} - 1 \Rightarrow \cos \alpha_{n+1}= \cos 2\alpha_n $

所以設(shè) $ a_i = \cos \alpha_i $，則

設(shè) $ Q= \sqrt{ 1- a_1^ { \hspace{0.2cm} 2} } · T_{n} = \sin \alpha_1 \prod_{i=1} ^ {n} \cos \alpha_i $，那么

$ \therefore (\sqrt{ 1- a_1^ { \hspace{0.2cm} 2} } · T_{50} )_{max} = (\frac{1}{2})^{50}$

source：廣西高三9月聯(lián)考