\(1.\) 已知 \(a>0\)，\(b>0\)，則 \(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\) 的最小值為（\(\color{red}{2\sqrt2}\)）。

\(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\ge 2\dfrac1b+b\ge2\sqrt 2\)，當(dāng) \(a=b=\sqrt 2\) 時取等。

\(2.\) 設(shè)正實數(shù) \(x,y,z\) 滿足 \(x^2-3xy+4y^2-z=0\)。則當(dāng) \(\dfrac{xy}{z}\) 取得最大值時，\(\dfrac2x+\dfrac1y-\dfrac2z\) 的最大值為（\(\color{red}{1}\)）。

\(x^2-3xy+4y^2=z\)，\({(x-2y)}^2+xy=z\)，\(\dfrac{xy}{z}=1-\dfrac{{(x-2y)}^2}{z}\)，所以當(dāng)且僅當(dāng) \(x=2y\) 時，\(\dfrac{xy}{z}\) 取得最大值，則 \(4y^2-6y^2+4y^2=z\)，\(z=2y^2\)。

\(\dfrac2x+\dfrac1y-\dfrac2z=\dfrac{2}{2y}+\dfrac1y-\dfrac{2}{2y^2}=\dfrac2y-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{2y-1}{y^2}\)。

令 \(t=2y-1\)，\(t > -1\)，則 \(y=\dfrac{t+1}{2}\)，由于令 \(y\) 取任意一個 \(y_0\) 使得 \(2y_0-1>0\)，都有 \(\dfrac{2y_0-1}{{y_0}^2}>0\)，而如果 \(y\) 取 \(y_0\) 使得 \(2y_0-1\le 0\)，都有 \(\dfrac{2y_0-1}{{y_0}^2}\le 0\)，所以使得原式取最大值的 \(y\) 必然滿足 \(2y-1>0\)，即 \(t>0\)。

\(\dfrac{2y-1}{y^2}=\dfrac{t}{{\left(\dfrac{t+1}{2}\right)}^2}=\dfrac{4t}{t^2+2t+1}=\dfrac{4}{t+\dfrac1t+2}\le\dfrac{4}{2+2}=1\)，當(dāng)且僅當(dāng) \(t=1\) 時取等。

\(3.\) 記 \(\max\{a,b\}\) 為 \(a,b\) 兩數(shù)的最大值，當(dāng)正整數(shù) \(x,y\)（\(x>y\)）變化時，\(t=\max\left\{x^2,\dfrac{4}{y(x-y)}\right\}\) 的最小值為（\(\color{red}{4}\)）。

\(t\ge x^2\)，\(t\ge\dfrac{4}{y(x-y)}\)，所以 \(t^2\ge\dfrac{4x^2}{y(x-y)}\)。

令 \(k=\dfrac{x}{y}\)，\(k>1\)，則 \(\dfrac{2y-1}{y^2}=\dfrac{4k^2}{k-1}=4k+4+\dfrac{4}{k-1}=8+4(k-1)+\dfrac{4}{k-1}\ge 16\)，當(dāng)且僅當(dāng) \(k=2,y=1,x=2\) 時取等。

\(t^2\ge 16\)，\(t\ge 4\)。

\(4.\) 已知實數(shù) \(x\ge 2y>0,z>0\)，則 \(\dfrac{x+4y+3z}{x+2y}+\dfrac{x}{2y+3z}\) 的最小值為（\(\color{red}{1+\sqrt2}\)）。

\(\dfrac{x+4y+3z}{x+2y}+\dfrac{x}{2y+3z}=1+\dfrac{2y+3z}{x+2y}+\dfrac{x}{2y+3z}\ge 1+2\sqrt{\dfrac{x}{x+2y}}\)

令 \(k=\dfrac{x}{y}\)，\(k\ge 2\)，\(1+2\sqrt{\dfrac{x}{x+2y}}=1+2\sqrt{\dfrac{k}{k+2}}=1+2\sqrt{1-\dfrac{2}{k+2}}\ge 1+2\sqrt{1-\dfrac{2}{2+2}}=1+\sqrt2\)。

當(dāng)且僅當(dāng) \(x=2y,y=\dfrac{3+3\sqrt 2}{2}z\) 時取等。

\(5.\) 設(shè) \(a>b>c>0\)，則 \(2a^2+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2\) 的最小值是（\(\color{red}{4}\)）。

\(2a^2+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2=2a^2+\dfrac{1}{b(a-b)}-10ac+25c^2\ge2a^2+\dfrac{4}{a^2}-10ac+25c^2={(a-5c)}^2+a^2+\dfrac{4}{a^2}\ge 0+2\times 2=4\)。

當(dāng)且僅當(dāng) \(a=\sqrt 2,c=\dfrac{\sqrt 2}{5},b=\dfrac{\sqrt 2}{2}\) 時取等。