量子力學
  • 物理學家在量子領域的貢獻:
    • 普朗克：提出能量子假設，解釋黑體輻射
    • 愛因斯坦：解釋了光電效應
    • 波爾：氫原子理論
    • 海森堡：不確定關系
    • 薛定諤：薛定諤方程
    • 泡利：泡利不相容原理
    • 戴維孫——革末：發現電子的波動性。
    • 施特恩-格拉赫實驗:電子自旋角動量（自旋磁矩）量子化 or 電子具有自旋角動量
  • 光強的定義：單位時間里垂直于光的傳播方向上的單位面積內通過該面積的光子的能量總和.
  • 光強公式: \(I=Nh\nu\)

1.\(λ = \frac{h}{\nu}\)

2.\(\nu = \frac{E}{h}\)

3.\(E = h \cdot \nu, \enspace \nu = \frac{c}{λ},\enspace p = \frac{h \cdot \nu}{c}\)

4.維恩位移定律

??\(T\lambda_m=b \enspace (b = 2.898\cdot 10^{-3} \mathrm{m\cdot K})\)

5.斯忒潘——玻爾茲曼定律

??\(\mathrm{M}(T)=\sigma T^{4} \enspace (\sigma=5.67 \cdot 10^{-8} \mathrm{W / m^{2}K^{4}})\)

? 溫度越高，M曲線面積越大。

6.絕對黑體

??不反射任何光線的物體

7.光的波粒二象性

??光的性質: \(c=\lambda \nu\)

??光子的能量: \(\varepsilon =mc^{2}=h\nu=\frac{hc}{\lambda}\)

??光子的動量: \(p = mc=\frac{h}{\lambda}=\frac{h\nu}{c}\)

??光子的質量: \(m_0 = 0,m=\frac{\varepsilon}{c^{2}}=\frac{h\nu}{c^{2}}\)

??光電效應: \(\frac{1}{2}mv^{2}=h\nu-A\)

??紅限頻率: \(\nu_0 = \frac{A}{h}\)

??截止電壓: \(\frac{1}{2}mv^{2}=eU_a\)

8.康普頓效應

??\({\displaystyle \Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{2h}{m_0c}\sin^{2}\frac{\phi}{2}=\frac{h}{m_0c}(1-\cos\phi)}\)

??電子的康普頓波長: \({\displaystyle \lambda_c=\frac{h}{m_0c}=2.4 \cdot 10^{-12} \mathrm{m}}\)

??反沖電子的動能: \({\displaystyle E_k=h\nu_0-h\nu=hc(\frac{1}{\lambda_0}-\frac{1}{\lambda})}\)

??why散射射線波長\(\lambda\)與散射物質無關?

????\(因為光子是與單個電子作用，所以與散射物質無關。\)

??why散射射線的兩種波長成分的強度與散射物質有關？

????\(因為不同的散射物質對外層分子的束縛程度不同。\)

9.實物粒子的波動性

? \({\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}, \nu = \frac{E_k}{h}, p=m_0c,c=\lambda\nu}\)

? \(p=\sqrt{2m_0E_k}\)

? 計算德布羅意波長:

? \({\displaystyle \lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{(\frac{E_k}{c})^{2}+2m_{0}E_k}}\enspace [v\sim c] }\)

? \({\displaystyle \lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_0E_k}}\enspace [v << c]}\)

? 熱中子的\({\displaystyle E_k = \frac{3}{2}kT}\)

? 電場提供動能: \(E_k=eU\)

? 電磁場中的運動: \({\displaystyle qvB = m\frac{v^2}{R}}\)

10.不確定性關系

? \(\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar /2\)

? \(\Delta y \cdot \Delta p_y \ge \hbar /2\)

? \(\Delta z \cdot \Delta p_z \ge \hbar /2\)

? \(一般寫為(\Delta q \cdot \Delta p \ge \hbar / 2),其中\hbar=\frac{h}{2\pi}是約化普朗克常量\)

? \(不確定性關系適用于任何粒子，也就是不能夠同時準確知道粒子的位置和動量\)

? 不確定性關系存在于時間和能量之間

11.波恩的統計解釋

? 波函數的物理（統計）意義：

? 在某一時刻、空間某一地點, 粒子出現的概率正比于該時刻、該地點波函數模的平方.

? 物質波的波函數 \(\Psi\Rightarrow \Psi(\mathop{r}\limits ^{\rightarrow},t)\)是概率振幅

? 其模的平方$\left | \Psi(\mathop{r}\limits ^{\rightarrow},t) \right |^{2} $代表 \(t\) 時刻,在 $\mathop{r}\limits ^{\rightarrow} $ 附近單位體積內粒子出現的概率,稱為“概率密度” 。

? $t $時刻在 \(\mathop{r}\limits ^{\rightarrow}\) 處附近內\(dV\)發現粒子的概率為： \(\left | \Psi(\mathop{r}\limits ^{\rightarrow},t) \right |^{2}dV\)

? 波函數具有：\(\textcolor{blue} {有限性、單值性、連續性、歸一性}\)

12.一維無限深勢阱

? 被束縛在一維無限深方形勢阱中的粒子的能量

  • 能級: \({\displaystyle [本征能量]E_n = n^{2}\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}=n^{2}\frac{h^{2}}{8ma^{2}}, [量子數]n=1,2,3,...}\),能量是量子化的
    • 存在最低能量\({\displaystyle E_1=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} > 0}\)
    • 一維-無限深-方形勢阱 中運動的粒子波函數：
      • \([本征態]\Phi_n(x)=0, \space\mathrm{if}\space x \le 0, x \ge a\)
      • \({\displaystyle[本征態] \Phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x}, \space\mathrm{if}\space 0 \lt x \lt a}\)
    • 定態波函數是駐波形式，邊界處是波節
      • \({\displaystyle \lambda = \frac{2a}{n}}, n=1,2,3,...\)
      • \({\displaystyle a=l=n \frac{\lambda}{2}}, n=1,2,3,...\)
    • 歸一化條件 \({\displaystyle \int_{0}^{l} \left | \Psi \right | ^{2} dx = 1, 0 \le x \le l}\)
    • 定態波函數 \({\color{red} \displaystyle \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin{\frac{n\pi}{l}}x}\)
    • $ \textcolor{blue} {隧道效應}$：如果 $E < U_0 $ ,則三個區域的粒子出現的概率均不為0
      • 1982年，\({\textcolor{blue}{掃描隧道顯微鏡}被發明,工作原理是電子的\textcolor{blue}{隧道效應}}\)

13.試比較以下三個方程機械波，電磁波，物質波方程中三個振幅的物理意義

? 1.\(A:質點偏離平衡位置的最大位移.\)

? 2.\(E_0 :電矢量的最大值.它的平方是光強.\)

? 3\([概率振幅]\Psi.沒有實在的物理意義。有意義的是概率密度.\)

14.氫原子和電子自旋

? 原子中電子的分布：\(\textcolor{blue}{泡利不相容}原理與\textcolor{blue}{能量最小}原理\)

? 四個量子數（n,l,m)的物理意義和取值范圍

? (1)主量子數$n : n=1,2,3,… $ 狀態的能量主要由它決定;

? \({\displaystyle E_n=-\frac{me^{2}}{2(4\pi \varepsilon_0)^{2}h^{2}}\frac{1}{n}}, n = 1,2,3,...\)

? (2)角量子數$l : l =0,1,2,…,(n -1) $它決定軌道角動量;

? \({\displaystyle L = \sqrt{l(l+1)}\hbar = \sqrt{l(l+1)}\frac{h}{2\pi}, l =0,1,2,...,(n-1)}\)

? (3)$\textcolor{blue}{磁量子數} $: $m_l=0,\pm 1,\pm 2,… ,\pm l. $ 決定電子的軌道角動量在外磁場（空間某個方向）的分量;

? ${\displaystyle L_z=m_l\hbar=m_l\frac{h}{2\pi}, m_l=0,\pm 1,\pm 2,… ,\pm l. } $

? (4)自旋磁量子數 : \(m_s=\pm\frac{1}{2}\), 決定自旋角動量在外磁場方向的分量;

? \({\displaystyle S_z=m_S\hbar = m_S\frac{h}{2\pi}}\)

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