【題解】Luogu P4321 隨機漫游
看到 \(n\le 18\),基本上是要做狀壓的。考慮進行預處理,然后在較小的復雜度內回答詢問。設 \(f_{S,u}\) 表示當前走完了 \(S\) 中的點,現在在 \(u\) 點(\(u\in S\)),走完剩下的點的期望步數。于是有方程:
\[f_{S,u}=1+\frac{1}{d_u}\sum f_{S\cup\{v\},v}
\]
其中 \((u,v)\) 是一條邊,\(d_u\) 表示 \(u\) 的度數。
考慮 \(S\) 與 \(S\cup\{v\}\) 的關系,顯然只有兩種情況,分別是 \(S=S\cup\{v\}\) 和 \(S\subsetneqq S\cup\{v\}\)。于是就可以倒著掃 \(S\),對于每個 \(S\) 做高斯消元了。
考慮輸出答案,題目的要求其實就是要將 \(c\) 中的點全部走完。設 \(c\) 中的點構成的集合為 \(S\),起點為 \(u\),那么答案即為 \(f_{(\complement S)\cup\{u\},u}\)。總時間復雜度為 \(O(2^nn^3+m)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define il inline
#define pb push_back
using namespace std;
namespace asbt{
namespace cplx{bool begin;}
const int mod=998244353;
int n,m,q,a[25][25];
int f[(1<<18)+5][25];
vector<int> e[25];
il int qpow(int x,int y){
// cout<<x<<" "<<y<<"\n";
int res=1;
while(y){
if(y&1){
res=res*1ll*x%mod;
}
y>>=1,x=x*1ll*x%mod;
}
return res;
}
namespace cplx{
bool end;
il double usdmem(){return (&begin-&end)/1048576.0;}
}
int main(){
// ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
cin>>u>>v;
e[u].pb(v),e[v].pb(u);
}
int uS=(1<<n)-1;
for(int S=uS-1;S;S--){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n+1;j++){
a[i][j]=0;
}
}
for(int u=1,tmp;u<=n;u++){
if(S>>(u-1)&1){
a[u][u]=mod-1;
tmp=qpow(e[u].size(),mod-2);
for(int v:e[u]){
if(S>>(v-1)&1){
a[u][v]=tmp;
}
else{
a[u][n+1]=(a[u][n+1]-f[S|1<<(v-1)][v]+mod)%mod;
}
}
a[u][n+1]=(a[u][n+1]*1ll*tmp+mod-1)%mod;
}
}
for(int i=1,cur,tmp;i<=n;i++){
if(S>>(i-1)&1){
tmp=0;
for(int j=i;j<=n;j++){
if(S>>(j-1)&1){
if(tmp<a[j][i]){
tmp=a[j][i],cur=j;
}
}
}
swap(a[i],a[cur]);
tmp=qpow(a[i][i],mod-2);
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i!=j&&(S>>(j-1)&1)){
for(int k=i+1;k<=n+1;k++){
if((S>>(k-1)&1)||k==n+1){
a[j][k]=(a[j][k]-a[j][i]*1ll*a[i][k]%mod*tmp%mod+mod)%mod;
}
}
}
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(S>>(i-1)&1){
f[S][i]=a[i][n+1]*1ll*qpow(a[i][i],mod-2)%mod;
}
}
}
cin>>q;
while(q--){
int num,S=0,u;
cin>>num;
while(num--){
cin>>u;
S|=1<<(u-1);
}
cin>>u;
cout<<f[(uS^S)|1<<(u-1)][u]<<"\n";
}
return 0;
}
}
int main(){return asbt::main();}

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