背景與原理：

PCA（主成分分析）是將一個數據的特征數量減少的同時盡可能保留最多信息的方法。所謂降維，就是在說對于一個$n$維數據集，其可以看做一個$n$維空間中的點集（或者向量集），而我們要把這個向量集投影到一個$k<n$維空間中，這樣當然會導致信息損失，但是如果這個$k$維空間的基底選取的足夠好，那么我們可以在投影過程中盡可能多地保留原數據集的信息。

數據降維的目的在于使得數據更直觀、更易讀、降低算法的計算開銷、去除噪聲。

接下來我們討論下如何選取$k$維子空間：

假設原數據集有$m$條數據，每條數據有$n$維，那么可以將其拼成一個$n*m$的矩陣M，而我們想投影到的$k$維空間的一個單位正交基底為$(p_{1},...,p_{k})$，那么我們想把這$m$維向量投影到這個空間中實際上就是進行一次矩陣乘法$\begin{pmatrix} p_{1}\\p_{2}\\...\\p_{k} \end{pmatrix} M$

這個道理是簡單易懂的。對于一個向量$\alpha$，其在另一個向量$\beta$方向上的投影是$\dfrac{\alpha \cdot \beta }{|\beta|}$（高中數學）

如果$|\beta|$是一個單位向量，那么這個投影即為$\alpha \cdot \beta=\beta^{T} \alpha$，于是投影到$k$個單位向量為基底的空間中的情況即如上述所示。

因此我們要找到這$k$個單位向量作為基底，然后拼出$P=\begin{pmatrix} p_{1}\\p_{2}\\...\\p_{k} \end{pmatrix}$即可。

那么怎么找呢？我們考慮降維之后我們需要什么，由于我們在降維之后要盡可能多地保留原始信息，因此降維之后的數據要提供最大的信息量，那么這個信息量在這里可以用數據的方差來反映，方差越大，數據的離散程度越高，那么數據的自身特征保留的就越好（個人理解：PCA降維的目的在于突出數據的個體特征，減少信息損失，而如果降維之后數據離散程度低，意味著這些數據全都堆在一起，那數據的特征體現的就不明顯了——所有數據全都差不多，這樣個體信息保留的就不好了）。

對于一個特征，在$m$組數據中的方差為$\sigma^{2}=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，為了便于討論，我們對所有特征零均值化（即把每個$x_{i}$預先減去$\overline{x}$），這樣一個特征的方差即為$\sigma^{2}=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}$

但是降維過程中只考慮方差是不夠的——如果我們發現兩個特征之間有很強的線性相關性，那么這兩個特征其實差別就不大了，我們當然不需要同時保留這兩個特征，因此我們還希望降維之后任意兩個特征的協方差（$cov(a,b)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}b_{i}$，因為已經進行過零均值化了）為零，也就是在說我們選取的子空間的基底一定是正交的。

那么現在的問題就轉化成了：對于一個$n$維$m$組數據的$n*m$數據矩陣$X$，我們希望將其投影到$n$維空間的一個$k$維子空間中，因此我們要找到$k$個單位正交基$(p_{1},...,p_{k})$，而如果這$k$個單位正交基構成的矩陣$P=\begin{pmatrix} p_{1}\\p_{2}\\...\\p_{k} \end{pmatrix}$，那么投影過程即為$Y=PX$，$Y$即為降維后所得的$k$維數據集

而結合上述討論，我們希望$Y$各個特征的方差最大，同時$Y$的兩特征的協方差為零，這怎么操作呢？

對于一個$n$維有$m$組數據的$n*m$矩陣$X$，我們考察$C=\dfrac{1}{m}XX^{T}$，那么我們看到如果$X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1m}\\...\\x_{n1} & x_{n2} &... & x_{nm}\end{pmatrix}$，我們有：

$XX^{T}=\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{m}x_{1i}^{2} & \sum_{i=1}^{m} x_{1i}x_{2i} &...& \sum_{i=1}^{m}x_{1i}x_{ni}\\...\\ \sum_{i=1}^{m}x_{ni}x_{1i} & \sum_{i=1}^{m} x_{ni}x_{2i} &...& \sum_{i=1}^{m}x_{ni}^{2}\end{pmatrix}$

我們稱$\dfrac{1}{m}XX^{T}$為協方差矩陣，因為我們看到按照我們上面的解釋，這個矩陣是一個實對稱矩陣，其主對角線上的元素是一個特征維度的方差，而其余位置上的元素是兩個對應特征的協方差！

那么我們的目的是要最大化主對角線上的元素，同時讓其余位置上的元素為$0$，那么我們進行的不就是實對稱矩陣的正交相似對角化嘛！

形式化地解釋一下：我們設$Y$的協方差矩陣為$D$，那么我們希望$D$是一個對角矩陣，同時$D$的主對角線上的元素要盡可能大，那么我們有：

$D=\dfrac{1}{m}YY^{T}=\dfrac{1}{m}(PX)(X^{T}P^{T})=P(\dfrac{1}{m}XX^{T})P^{T}$

那么我們實際進行的不就是把$C=\dfrac{1}{m}XX^{T}$這個協方差矩陣正交相似對角化嘛！

至于我們希望主對角線元素盡可能大，那我們就選取$C$的前$k$大的特征值組成$D$就好了嘛，而此時的$P$就對應于前$k$大的特征值對應的$k$個正交的特征向量構成的矩陣。

那么我們的算法步驟如下：

對于$n$行$m$列的矩陣$X$，我們解釋成其有$m$組數據，每組數據有$n$個特征，現在我們欲將其變成$k*m$的矩陣$Y$，表示降維后每組數據只有$k$個特征。

（1）零均值化：對$X$的每個元素，減去自己所在行的均值（即我們是逐特征操作，一行對應于同一個特征，不要搞錯這一點）

（2）計算協方差矩陣$C=\dfrac{1}{\textbf{m}}XX^{T}$

（3）對協方差矩陣對角化$C=P\Sigma P^{T}$，找到其單位正交的特征向量$e_{1},...,e_{n}$

（4）選取最大的$k$個特征值對應的特征向量$e_{i_{1}},...,e_{i_{k}}$，拼成一個變換矩陣$P_{k}=\begin{pmatrix} e_{i_{1}}\\e_{i_{2}}\\...\\e_{i_{k}} \end{pmatrix}$

（5）降維后的數據即為$Y=P_{k}X$

（6）如果希望根據降維后的數據集$Y$近似還原原數據集$\hat{X}$，我們有$\hat{X}=P_{k}^{T}Y$（這里的邏輯是如果我們不降維，那么$P_{k}=P$就是一個正交矩陣，那么$P^{T}P=I$，相當于此時數據集沒有損失，那么類比這個過程就能導出近似還原方法$\hat{X}=P_{k}^{T}Y$）

代碼實現：

import numpy as np
from sympy.matrices import Matrix,GramSchmidt
np.random.seed(1)

x = 7*np.random.rand(100)
y = 0.5*x + 1 + 3*np.random.rand(100)

X = np.hstack([x.reshape(100, 1), x.reshape(100, 1), y.reshape(100, 1), x.reshape(100, 1)])

def centerData(X):
    X = X.copy()
    X -= np.mean(X, axis=0)
    return X

X = centerData(X)print(X[7][2])
C= (np.transpose(X)@X)/100
val,fea=np.linalg.eig(C)
dic=dict()
for i in range(0,4):
    dic[val[i]]=fea[:,i]
val=abs(np.sort(-val))
P=np.vstack([dic[val[0]],dic[val[1]]])
Y=X@P.T
reconstruct_X=Y@P
print(reconstruct_X[7][2])

值得注意的問題是這段代碼中生成的數據每組數據是一個行向量，每列對應于一個特征，因此所有的計算和上面的推導都構成一個轉置。

此外這里使用了numpy里面的linalg.eig方法用來求一個實對稱矩陣的特征值和特征向量，返回的val是特征值，fea是特征向量，要特別說明的是不出意外的情況下這里的val都是按從大到小排序的，而fea實際上是一個矩陣，這個矩陣每個列向量對應于一個特征值，因此一定要注意選取的方法。上面代碼使用前兩個特征向量作為主成分恢復原矩陣，可以看到恢復效果還是不錯的。

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris

data=load_iris()
X=data.data
Y=data.target

pca=PCA(n_components=2)

X_2d=pca.fit_transform(X)

plt.scatter(X_2d[:,0],X_2d[:,1],c=Y)
plt.show()

當然，PCA也可以直接使用sklearn里面的包，上述代碼加載了經典的鳶尾花數據集，然后進行PCA降維（降成二維，這個n_components參數給出了要降到的維度），然后能清楚看到三個鳶尾花的類別，效果很好。

PCA的另類用法：

在著名的神經網絡論文AlexNet中曾提出了一種使用PCA進行數據增強的算法，稱之為PCA jitter。所謂數據增強，就是通過對訓練數據人為的加噪聲，提高模型魯棒性與預測能力的方法。從觀感來講，PCA jitter近似對光效的變化，對比直接對RGB通道進行加噪聲會獲得更少的顏色的失真。

而這個方法的主要流程就是：對于一張圖片，我們把每個像素看做一個數據，其有三個特征（即R,G,B三通道顏色），把每個特征標準化（均值為0，方差為1，即對每個數據減去均值后除以標準差即可），然后計算出這個矩陣的協方差矩陣，把協方差矩陣對角化，依據協方差矩陣對角化的結果對原圖進行抖動，具體原理可以參考論文，這里給出一種實現：

def solve(val,fea):
    ran=np.random.normal(0,50,3)
    tval=val*ran
    D=tval@fea
    re=np.zeros((1080,1080,3))
    for i in range(0,1080):
        for j in range(0,1080):
            for k in range(0,3):
                re[i][j][k]=np.clip(img[i][j][k]+D[k],0,255)
    plt.imshow(re/255)

l=[]
for i in img:
    for j in i:
        l.append(j)
data=(np.array(l)).T
data=data.astype(np.float64)

for i in range(0,3):
    ave=data[i,:].mean()
    std=data[i,:].std()
    for j in range(0,len(data[i,:])):
        data[i][j]=(data[i][j]-ave)/std
Q=data@data.T/len(data[i,:])
val,fea=np.linalg.eig(Q)

solve(val,fea)

這里的抖動是從均值為0，方差為50的正態分布里抽樣得到的，這個方差可以自己設定，根據效果選取。實際上抖動的過程就是如果設特征值為$\alpha=(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3})$，特征向量構成的矩陣為$P$，隨機數為$r$，那么我們計算$\beta=r\alpha P$得到一個$1*3$的向量即為RGB三通道各自的抖動值。

（上述過程可能有誤，歡迎大佬指出，不勝感激！）

而實現結果：如果原圖是這樣的

 那么一個隨機的情況是這樣的：

類似于加了清晨朦朧的光效？可以看到還是有一定效果的。