數學還是缺得太多了，今天寫一發二項式定理的證明。

　　二項式定理：$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{n \choose i}\times a^{n-i}b^i$

　　證明：

　　考慮歸納證明，當 $n=0$ 時，$(a+b)^0=1,{0\choose 0}=1,a^0=1,b^0=1$，顯然滿足。

　　已知 $\forall k \in [0,n-1]$ 滿足 $(a+b)^k=\sum_{i=0}^k{k \choose i}\times a^{k-i}b^i$，求證 $(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{n \choose i}\times a^{n-i}b^i$。

　　$(a+b)^n=(a+b)^{n-1}\times (a+b)=(\sum_{i=0}^{n-1}{n-1 \choose i}\times a^{n-1-i}b^i)\times (a+b)$

　　$=a\times (\sum_{i=0}^{n-1}{n-1 \choose i}\times a^{n-1-i}b^i)+b\times (\sum_{i=0}^{n-1}{n-1 \choose i}\times a^{n-1-i}b^i)$

　　$=\sum_{i=0}^{n-1}{n-1 \choose i}\times a^{n-i}b^i+\sum_{i=0}^{n-1}{n-1 \choose i}\times a^{n-1-i}b^{i+1}$

　　$=\sum_{i=0}^{n-1}{n-1 \choose i}\times a^{n-i}b^i+\sum_{i=1}^{n}{n-1 \choose i-1}\times a^{n-i}b^{i}$

　　$={n-1\choose 0}\times a^nb^0+\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i}\times a^{n-i}b^i+\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\times a^{n-i}b^{i}+{n-1\choose n-1}\times a^0b^n$

　　$={n\choose 0}\times a^nb^0+\sum_{i=1}^{n-1}\left({n-1 \choose i}+{n-1 \choose i-1}\right)\times a^{n-i}b^{i}+{n\choose n}\times a^0b^n$

　　$={n\choose 0}\times a^nb^0+\sum_{i=1}^{n-1}{n \choose i}\times a^{n-i}b^{i}+{n\choose n}\times a^0b^n$

　　$=\sum_{i=0}^n{n \choose i}\times a^{n-i}b^i$

　　證畢，完結撒花！