在信道均衡中，ZF（迫零）和MMSE（最小均方誤差）算法通過信道矩陣的逆或偽逆來消除干擾或最小化誤差。信道矩陣是否方陣直接影響求逆方法，以下是詳細分析：

1. 信道矩陣為方陣（M×M）

假設信道矩陣 H 是方陣（例如單用戶MIMO系統中，發射和接收天線數均為M）。

(1) ZF均衡（Zero Forcing）

ZF均衡的目標是直接反轉信道矩陣以消除干擾，均衡矩陣為：
[
W_{\text{ZF}} = H^{-1}
]

• 條件：H必須可逆（滿秩且行列式非零）。
• 效果：完全消除干擾，但可能放大噪聲（尤其在低信噪比時）。

(2) MMSE均衡（Minimum Mean Square Error）

MMSE均衡考慮噪聲影響，均衡矩陣為：
[
W_{\text{MMSE}} = \left( H^H H + \sigma^2 I \right)^{-1} H^H
]

• 參數：σ2為噪聲方差，I為M×M單位矩陣。
• 特點：在噪聲抑制和干擾消除間權衡，性能優于ZF在高噪聲場景。

2. 信道矩陣為非方陣（M×N，M≠N）

常見于多用戶MIMO或天線數不等的系統（如基站天線數N，用戶天線數M）。

(1) ZF均衡

當 H 非方陣時，需用 Moore-Penrose偽逆 替代逆矩陣：

• 若 H 列滿秩（M > N）：
  [
  W_{\text{ZF}} = (H^H H)^{-1} H^H
  ]
  適用于接收天線數多于發射天線（超定方程組）。

• 若 H 行滿秩（M < N）：
  [
  W_{\text{ZF}} = H^H (H H^H)
  ]
  適用于發射天線數多于接收天線（欠定方程組，需最小范數解）。

(2) MMSE均衡

無論H是否方陣，MMSE均衡統一使用正則化偽逆：
[
W_{\text{MMSE}} = \left( H^H H + \sigma^2 I \right)^{-1} H^H \quad (\text{當 } M > N)
]
[
W_{\text{MMSE}} = H^H \left( H H^H + \sigma^2 I \right)^{-1} \quad (\text{當 } M < N)
]

• 核心思想：通過添加噪聲項σ2I保證矩陣可逆，避免H^H H或H H^H奇異。
• 維度匹配：噪聲項I的維度需與H^H H或H H^H一致（分別為N×N或M×M）。

3. 關鍵區別與注意事項

注意事項：

1. 數值穩定性：當 ( H^H H ) 接近奇異時，ZF可能不穩定，MMSE通過σ2I改善條件數。
2. 計算復雜度：偽逆計算復雜度高，實際中常用Cholesky分解或SVD加速。
3. 物理意義：
   • ZF強制干擾為零，適用于高信噪比。
   • MMSE最小化均方誤差，適用于噪聲顯著場景。

4. 示例場景

(1) 上行MIMO（基站天線數N > 用戶天線數M）

• 信道矩陣：H為N×M（列滿秩）。
• ZF均衡：( W_{\text{ZF}} = (H^H H)^{-1} H^H ).
• MMSE均衡：( W_{\text{MMSE}} = (H^H H + \sigma^2 I)^{-1} H^H ).

(2) 下行大規模MIMO（基站天線數N，單天線用戶M=1）

• 信道矩陣：H為1×N（行滿秩）。
• ZF均衡：( W_{\text{ZF}} = H^H (H H^H) ).
• MMSE均衡：( W_{\text{MMSE}} = H^H (H H^H + \sigma^2 I)^{-1} ).

總結

• 方陣：直接求逆（ZF）或正則化求逆（MMSE）。
• 非方陣：根據秩條件選擇左/右偽逆，MMSE通過噪聲項保證可逆性。
• 核心公式：偽逆與噪聲正則化是處理非方陣的關鍵，實際系統需結合信噪比和計算資源選擇均衡算法。