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      LGV 引理——2025.7.18 鮮花

      LGV 引理

      心靈感應
      ねえもっとちょうだい?
      nē motto choudai?
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy
      べー! 気付(きず)いてよ 
      bē  kizu ite yo
      履修(りしゅう)してよ あたしのこと とんとん
      rishū shite yo  atashi no koto ton ton
      もー、べー!嫌(きら)いだよ 
      mō  bē  kirai da yo
      頭悪そうって顔するの のんのん
      あたまわるそうってかおするののんのん
      atama warusou tte kao suru no non non
      さあ  sā
      勘繰(かんぐ)りダンス ブギウギ
      kanguri dansu   bugi ugi
      迷子(まいご)でぼっち デビデビ
      maigo de bocchi   debi debi
      感情(かんじょう)をください ハイハイ
      kanjou wo kudasai   hai hai
      ぶー bū
      配慮(はいりょ)んダンス ブギウギ
      hairyo n dansu   bugi ugi
      解釈一致(かいしゃくいっち) ギミギミ
      kaishaku icchi   gimi gimi
      返答(へんとう)をください ハイハイ
      hentou wo kudasai   hai hai
      「期待しないで」とか今更で は?
      「きたいしないで」とかいまさらで  は?
      "kitai shinaide" toka imasara de  ha?
      まじでSTOP 脈(みゃく)ナシハラスメント
      maji de STOP myaku nashi harasumento
      待ちに待った思春期頑張んべ
      まちにまったししゅんき がんばんべ
      machi ni matta shishunki ganbanbe
      あいうぉんちゅーコールが聞(き)こえなーい
      ai uonchu kōru ga kikoenā i
      伝播する義務ラブ マッチング
      でんぱするぎむラブ マッチング
      denpa suru gimu rabu macchingu
      要承認(ようしょうにん)ハートのリハしたい
      youshounin haato no riha shitai
      ライブでは下手(へた)くそ やんなっちゃう
      raibu de wa hetakuso yanna cchau
      はぁ「戀愛ガールは葉えたい」
      はぁ「れんあいガールはかなえたい」
      hā  "ren'ai gāru wa kanae tai"
      衝撃のアニメ化待っています
      しょうげきのあにめかまっています
      shougeki no animeka matte imasu
      アンハッピーエンドじゃつまんない
      an happī endo ja tsuman nai
      “feat. きみ”を ねえもっとちょうだい?
      “feat. kimi ” wo nē motto choudai ?
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
      :-b ;-b boy, :-b ;-b boy
      ねえ 気付(きず)いても 
      nē kizuite mo
      無視()するとこ そういうとこ
      mushi suru toko sou iu toko
      ねえ  嫌(きら)いだと 
      nē kirai da to
      思(おも)えるほど 強(つよ)くないの
      omoeru hodo tsuyokunai no
      さあ  テンパりトーク ドギマギ
      sā  tenpari tooku dogi'magi
      ハードなチャンス デビデビ
      haado na chansu debi'debi
      原稿(げんこう)をください ハイハイ
      genkou wo kudasai hai'hai
      さあ  ギャンブルトーク ドギマギ
      sā  gyanburu tooku dogi'magi
      戀(こい)$ベット デビデビ
      koi $ betto debi'debi
      全勝(ぜんしょう)をください ハイハイ
      zenshou wo kudasai hai'hai
      わああああああ は??
      wā ā ā ā  ha ? ?
      まじでSTOP 逆張り harassment
      まじでSTOP ぎゃくはりハラスメント
      majide STOP   gyaku hari harasumento
      勝ちに行って負けるの何回目 嫌になんぜ
      かちにいってまけるのなんかいめいやになんぜ
      kachi ni itte makeru no nan kaime  iya ni nanze
      あいうぉんちゅーコール伝(つた)わんない
      ai uonchu kōru tsuta wannai
      飽和する telepathy  zapping
      ほうわするテレパシ ザッピング
      houwa suru terepashi  zappingu
      妄想継承 して revenger
      もうそうけいしょうしてリベンジャー
      mousou keishou shite ribenjaa
      先帝の無念晴らしてやる
      せんていのむねんはらしてやる
      sentei no munen harashite yaru
      はぁ「転生(てんせい)したらあたしだった」
      hā " tensei shi'tara atashi datta "
      大好きの壁打ちやっています
      だいすきのかべちやっています
      daisuki no kabe uchi yatte imasu
      アンハッピーエンドじゃつまんない
      an happī endo ja tsuman nai
      “feat. きみ”を ねえもっとちょうだい?
      “feat. kimi ” wo nē motto choudai ?
      :-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
      :-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
      :-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
      :-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
      あいうぉんちゅーコールが聞(き)こえなーい
      ai uonchu kōru ga kikoenā i
      アンハッピーエンドじゃつまんない
      an happī endo ja tsuman nai
      “feat. きみ”を ねえもっとちょうだい?
      “feat. kimi ” wo nē motto choudai ?
      

      很簡單的。

      就是每條邊有邊權 \(w_i\),設 \(e(u, v)\) 表示 \(u \rightsquigarrow v\) 的每一條路徑的邊權和,\(A_i\) 是起點集合,\(B_i\) 是終點集合,矩陣:

      \[ M = \begin{bmatrix} e(A_1, B_1) & \cdots & e(A_1, B_n)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ e(A_n, B_1) & \cdots & e(A_n, B_n) \end{bmatrix}\]

      有:

      \[\rm det(M)= \sum_{S: A\to B} (-1)^{\sigma(S)}\prod_{s \in S} w(s) \]

      其中 \(w(s)\) 表示 \(s\) 這條路徑的邊權積,\(S: A\to B\) 表示 \(S\) 是有 \(A\)\(B\) 中的點兩兩配對形成的不交路徑集,\(\sigma(S)\) 表示這種配對的逆序對個數。

      先來個板子:P6657 【模板】LGV 引理】

      考慮到 \(a\)\(b\) 匹配只有 \(a_i\) 匹配 \(b_i\) 是有值的,所以直接寫 LGV 即可。

      P7736 [NOI2021] 路徑交點

      首先發現其交點個數的奇偶和逆序對奇偶是是一樣的,直接上 LGV 即可。

      Gym102978A Ascending Matrix

      好題。

      考慮轉化成一些值域分割線從左上角走到右下角的方案,先平移一下變成不交。

      限制相當于是恰有 \(k\) 條線從點的上方經過,設一些邊的邊權是 \(x\) 后提取 \(x^k\) 項系數即可。

      不太能直接帶著多項式求行列式,這里直接拉插即可。

      Code
      /*
      ulimit -s 128000 && clear && g++ % -o %< -O2 -std=c++14 -DLOCAL -Wall -Wextra && time ./%< && size %<
      ulimit -s 128000 && clear && g++ % -o %< -O2 -std=c++14 -DLOCAL -Wall -Wextra -fsanitize=address,undefined -g && time ./%< && size %<
      echo && cat out.out && echo
      */
      #include <bits/stdc++.h>
      using namespace std;
      using llt = long long;
      using llf = long double;
      using ull = unsigned long long;
      #define endl '\n'
      #ifdef LOCAL
      FILE *InFile = freopen("in.in", "r", stdin), *OutFile = freopen("out.out", "w", stdout);
      #endif
       
      const int N = 403, K = 103, MOD = 998244353;
      int n, m, _k, _r, _c, _v, cd[N][N][2], c[N][N];
      int INV(int a, int b){ return a == 1 ? 1 : b - 1ll * INV(b % a, a) * b / a; }
      int Inv(int a, int b = MOD){ return INV(a < 0 ? a + b : a, b); }
      llt dp[N][N][2];
      
      int Det(int c[N][N], int n){
      	int v = 1;
      	for(int i = 1; i <= n; ++i){
      		int t = i; for(; t <= n; ++t) if(c[t][i]) break;
      		if(t > n) continue;
      		if(t != i) swap(c[i], c[t]), v = -v;
      		for(int j = i + 1; j <= n; ++j){
      			int x = 1ll * Inv(c[i][i]) * c[j][i] % MOD;
      			for(int k = i; k <= n; ++k) c[j][k] = (c[j][k] - 1ll * c[i][k] * x) % MOD;
      		}
      	}
      	int r = 1;
      	for(int i = 1; i <= n; ++i) r = 1ll * r * c[i][i] % MOD;
      	return r * v;
      }
      
      class LGG{
      private:
      	int dp[K]; vector<int> ob;
      	int Dp(int k){
      		memset(dp, 0, sizeof dp), dp[0] = 1;
      		for(auto b : ob){
      			for(int i = k; i; --i) dp[i] = (dp[i - 1] + 1ll * dp[i] * b) % MOD;
      			dp[0] = 1ll * dp[0] * b % MOD;
      		}
      		return dp[k];
      	}
      public:
      	int y[K];
      	int operator()(int n, int k){
      		int r = 0;
      		for(int i = 1; i <= n; ++i){
      			ob.clear(); int s = 1;
      			for(int j = 1; j <= n; ++j) if(j != i) ob.emplace_back(-j), s = 1ll * s * (i - j) % MOD;
      			r = (r + 1ll * y[i] * Inv(s) % MOD * Dp(k)) % MOD;
      		}
      		return r;
      	}
      } Lgg;
      
      int main(){
      	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
      	cin >> n >> m >> _k >> _r >> _c >> _v, --_v, _r = _r + _v - 1, _c = _c + _v - 1, --_k;
      	for(int u = 1; u <= _k; ++u){
      		memset(dp, 0, sizeof dp), dp[u - 1][m + u][0] = 1;
      		for(int i = u; i <= n + _k; ++i) for(int j = m + u; j; --j) if(i != _r + 1 || j != _c + 1){
      			llt *d = dp[i][j];
      			d[0] += dp[i][j + 1][0] + dp[i - 1][j][0], d[1] += dp[i][j + 1][1] + dp[i - 1][j][1];
      			if(i <= _r && i - j == _r - _c) d[1] += d[0], d[0] = 0;
      			d[0] %= MOD, d[1] %= MOD;
      		}
      		for(int v = 1; v <= _k; ++v) cd[u][v][0] = dp[n + v][v][0], cd[u][v][1] = dp[n + v][v][1];
      	}
      	for(int x = 1; x <= _k + 1; Lgg.y[x++] = Det(c, _k)) for(int i = 1; i <= _k; ++i) for(int j = 1; j <= _k; ++j)
      		c[i][j] = (cd[i][j][0] + 1ll * cd[i][j][1] * x) % MOD;
      	cout << (Lgg(_k + 1, _v) + MOD) % MOD << endl;
      }
      
      P





      posted @ 2025-07-18 11:52  xrlong  閱讀(52)  評論(0)    收藏  舉報

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