一 希爾排序

希爾排序是一種非常獨特且高效的排序算法，它通過一種“先宏觀，后微觀”的策略來提升效率

1.1 算法特性

希爾排序特性總結

1.2 算法原理

希爾排序的巧妙之處在于它通過“增量序列”將大規模無序數據轉化為小規模且基本有序的數據進行排序。其過程可以清晰地分為“分組預排序”和“最終插入排序”兩大階段。下圖以序列 [8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0]為例，展示了使用初始增量 gap=5進行分組排序，并逐步縮小增量直至為1的全過程。

• 1? 選擇增量序列??：這是希爾排序的“靈魂”。算法首先選擇一個初始間隔（gap），通常為數組長度的一半（如n/2），然后逐步縮小這個間隔（如每次減半），直到間隔變為1。
• ??2 按間隔分組并排序??：
  對于每個選定的間隔gap，將數組中所有相距為gap倍數的元素歸為同一組。然后，??分別對這些分組進行直接插入排序??。這一步稱為“預排序”，它使得元素能夠大步地跳躍到其最終位置 附近， 從而大幅減少后續精細排序所需的工作量。
• ??3 縮小間隔重復過程??：完成一次分組排序后，將間隔gap縮小（例如，gap = gap / 2或使用更優的序列如 gap = gap / 3 + 1），然后重復步驟2的分組和排序過程。
• 4?? 最終插入排序??：當間隔gap最終縮小到1時，整個數組已經被“預排序”得基本有序了。此時再對整個數組進行一次標準的直接插入排序。由于序列已基本有序，這次插入排序的效率會非常高，接近O(n)。

1.3 復雜度分析

希爾排序的性能與所選用的??增量序列??密切相關。

1.3.1 時間復雜度

??這是一個復雜的話題，因為沒有一個固定的答案。

使用最簡單的增量序列（如每次減半），最壞情況時間復雜度可能達到 ??O(n2)??。
但使用更優化的增量序列，如??Hibbard增量??（1, 3, 7, ..., 2? - 1）或??Knuth增量??（1, 4, 13, ..., (3? - 1)/2），平均時間復雜度可以優化到約 ??O(n^1.3)?? 或 ??O(n^(3/2))??，這比簡單插入排序的O(n2)要好得多。
需要注意的是，希爾排序的準確平均時間復雜度分析仍然是算法研究中的一個課題。

1.3.2 空間復雜度

??由于希爾排序是原地排序，只需要少量臨時變量（如用于元素交換的temp），因此空間復雜度為 ??O(1)??。

1.4 使用場景

希爾排序在以下場景中表現出色：

• ??中等規模數據排序??：當數據量在數百到數萬之間時，希爾排序通常能提供不錯的性能，且實現比快速排序、歸并排序等更簡單。
• ??內存受限的環境??：由于它是原地排序，空間復雜度為O(1)，非常適合嵌入式系統等內存緊張的場景。
• ??作為更復雜算法的子過程??：有時在快速排序等算法的遞歸過程中，當子數組規模較小時，會切換使用希爾排序來提升整體效率。

1.5 代碼實現

1.5.1 C 語言代碼實現

#include <stdio.h>

void shellSort(int arr[], int n) {
    // 初始增量gap設為數組長度的一半，隨后逐步縮小增量
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        // 從第gap個元素開始，對每個子序列進行插入排序
        for (int i = gap; i < n; i++) {
            int temp = arr[i]; // 待插入的元素
            int j;
            // 對當前子序列進行插入排序：將比temp大的元素后移
            for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {
                arr[j] = arr[j - gap];
            }
            // 將temp插入到正確位置
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

// 打印數組函數
void printArray(int arr[], int size) {
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}

// 主函數測試
int main() {
    int arr[] = {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    printf("排序前的數組: \n");
    printArray(arr, n);

    shellSort(arr, n);

    printf("排序后的數組: \n");
    printArray(arr, n);
    return 0;
}

1.5.2 ?代碼關鍵點解釋

• 外層循環 for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)控制增量的變化。
• 中間層循環 for (int i = gap; i < n; i++)從每個子序列的第二個元素開始遍歷（因為第一個元素可視為已排序）。
• 內層循環 for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap)是插入排序的核心，它在當前子序列中為 temp尋找正確的插入位置，并將比它大的元素向后移動。

1.6 常用算法比較

排序算法比較

1.7 總結

希爾排序是一種巧妙且實用的排序算法，它通過“分組插入排序”和“逐步細化”的策略，顯著提升了插入排序在處理無序數據時的效率。雖然其性能分析較為復雜，且它不是穩定的排序算法，但其代碼簡潔、空間效率高的特點，使其在特定場景下（如中等規模數據排序、內存受限環境）依然是一個非常有價值的選擇。