BigDecimal的精度與刻度

BigDecimal是Java中用于高精度算術(shù)運(yùn)算的類(lèi)。當(dāng)您需要精確地處理非常大或非常小的數(shù)字時(shí)，例如在金融計(jì)算中，它特別有用。由于眾所周知得原因，Double這種類(lèi)型在某些情況下會(huì)出現(xiàn)丟失精度的問(wèn)題，所以在需要對(duì)較為敏感的數(shù)據(jù)(比如與金額有關(guān)的)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，我們都會(huì)用BigDecimal。但是，用BigDecimal不代表就一定沒(méi)問(wèn)題，我們今天就討論一下關(guān)于BigDecimal的問(wèn)題。

精度與刻度

要正確使用BigDecimal，首先要清楚精度(precision)和刻度(scale)的概念。

• Precision（精度）：表示數(shù)值的總位數(shù)，包括小數(shù)點(diǎn)前后的位數(shù)。例如，數(shù)值 123.45 的精度是 5，因?yàn)樗?5 位數(shù)字。

• Scale（刻度）：表示小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)。例如，數(shù)值 123.45 的刻度是 2，因?yàn)樾?shù)點(diǎn)后有 2 位數(shù)字。

舉個(gè)例子，如果一個(gè)數(shù)值類(lèi)型定義為 DECIMAL(7, 2)，那么它的精度是 7，刻度是 2。這意味著這個(gè)數(shù)值最多可以有 7 位數(shù)字，其中 2 位在小數(shù)點(diǎn)后，5 位在小數(shù)點(diǎn)前。
(p.s. DECIMAL這個(gè)數(shù)值類(lèi)型通常是用在數(shù)據(jù)庫(kù)中的，JAVA中并沒(méi)有這個(gè)類(lèi)型。用這個(gè)例子是因?yàn)樗梢宰钋逦卣f(shuō)明精度與刻度)

BigDecimal類(lèi)中也有獲取精度和刻度的方法

    BigDecimal num = new BigDecimal("12.1234");
	System.out.println(String.format("precision:%s scale:%s", num.precision(),num.scale()));

    //輸出：precision:6 scale:4

除法中的刻度

在用BigDecimal做除法運(yùn)算，使用divide方法的時(shí)候，可以指定刻度，也可以不指定。

當(dāng)指定刻度，即保留幾位小數(shù)的時(shí)候，需要指定進(jìn)位模式(RoundingMode)。
可選的模式有UP、DOWN、CEILING、FLOOR、HALF_UP、HALF_DOWN、HALF_EVEN、UNNECESSARY。
JDK api中用一個(gè)表格比較了這幾種模式的區(qū)別

Result of rounding input to one digit with the given rounding mode

按指定的規(guī)則進(jìn)位，保留幾位小數(shù)，這沒(méi)有問(wèn)題。

如果不指定刻度呢？

    BigDecimal one = new BigDecimal("1");
	BigDecimal eight = new BigDecimal("8");
    System.out.println(one.divide(eight));//輸出 0.125
	BigDecimal three = new BigDecimal("3");
    System.out.println(one.divide(three));// java.lang.ArithmeticException: Non-terminating decimal expansion; no exact representable decimal result.

當(dāng)結(jié)果能除盡的時(shí)候正常處理，當(dāng)除不盡即結(jié)果是無(wú)限循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，程序拋出異常。
看一下源碼：

public BigDecimal divide(BigDecimal divisor) {
        /*
         * Handle zero cases first.
         */
        if (divisor.signum() == 0) {   // x/0
            if (this.signum() == 0)    // 0/0
                throw new ArithmeticException("Division undefined");  // NaN
            throw new ArithmeticException("Division by zero");
        }

        // Calculate preferred scale
        int preferredScale = saturateLong((long) this.scale - divisor.scale);

        if (this.signum() == 0) // 0/y
            return zeroValueOf(preferredScale);
        else {
            /*
             * If the quotient this/divisor has a terminating decimal
             * expansion, the expansion can have no more than
             * (a.precision() + ceil(10*b.precision)/3) digits.
             * Therefore, create a MathContext object with this
             * precision and do a divide with the UNNECESSARY rounding
             * mode.
             */
            MathContext mc = new MathContext( (int)Math.min(this.precision() +
                                                            (long)Math.ceil(10.0*divisor.precision()/3.0),
                                                            Integer.MAX_VALUE),
                                              RoundingMode.UNNECESSARY);
            BigDecimal quotient;
            try {
                quotient = this.divide(divisor, mc);
            } catch (ArithmeticException e) {
                throw new ArithmeticException("Non-terminating decimal expansion; " +
                                              "no exact representable decimal result.");
            }

            int quotientScale = quotient.scale();

            // divide(BigDecimal, mc) tries to adjust the quotient to
            // the desired one by removing trailing zeros; since the
            // exact divide method does not have an explicit digit
            // limit, we can add zeros too.
            if (preferredScale > quotientScale)
                return quotient.setScale(preferredScale, ROUND_UNNECESSARY);

            return quotient;
        }
    }

MathContext mc = new MathContext( (int)Math.min(this.precision() +(long)Math.ceil(10.0*divisor.precision()/3.0),Integer.MAX_VALUE),RoundingMode.UNNECESSARY);

這一句算了一個(gè)刻度，然后進(jìn)位方式選了UNNECESSARY。所以當(dāng)除不盡的時(shí)候就拋異常了。

也就是說(shuō)它斷定，如果一個(gè)除法能除盡，它的小數(shù)位小于this.precision() +(long)Math.ceil(10.0*divisor.precision()/3.0)

這句話(huà)的意思是，如果 this 除以 divisor 的商是一個(gè)有限小數(shù)，那么這個(gè)小數(shù)的位數(shù)不會(huì)超過(guò)以下公式計(jì)算的結(jié)果：
\(a.precision() + \lceil \frac{10 \cdot b.precision}{3} \rceil\)
其中：
? a.precision() 是 this 的精度，即 this 的總位數(shù)。
? b.precision() 是 divisor 的精度，即 divisor 的總位數(shù)。
? ceil 是向上取整函數(shù)。
這個(gè)公式的作用是估算有限小數(shù)的最大位數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，它考慮了 this 和 divisor 的精度，并通過(guò)一個(gè)比例關(guān)系來(lái)確定商的小數(shù)位數(shù)上限。
舉個(gè)例子，如果 this 的精度是 5，divisor 的精度是 3，那么公式計(jì)算如下：
\(5 + \lceil \frac{10 \cdot 3}{3} \rceil = 5 + \lceil 10 \rceil = 5 + 10 = 15\)
因此，商的有限小數(shù)位數(shù)不會(huì)超過(guò) 15 位。

插一句啊，這是為什么？

AI是這樣回答的：

這個(gè)公式的提出者并沒(méi)有明確的記錄，但它基于數(shù)論中的一些基本原理。證明這個(gè)公式需要用到基本算術(shù)定理（Fundamental Theorem of Arithmetic），即每個(gè)整數(shù)都可以唯一地分解為素?cái)?shù)的乘積。
證明思路

1. 有限小數(shù)的條件：
   一個(gè)分?jǐn)?shù) \(\frac{a}{b}\)只有在其分母 (b) 僅包含 2 和 5 作為素因子時(shí)，才會(huì)有一個(gè)有限小數(shù)。這是因?yàn)?10 的唯一素因子是 2 和 5。
2. 小數(shù)位數(shù)的估算：
   假設(shè)我們有一個(gè)分?jǐn)?shù) \(\frac{a}{b}\)，其中 (a) 和 (b) 是整數(shù)，并且 (b) 僅包含 2 和 5 作為素因子。我們可以將 (b) 表示為 \((2^m \times 5^n)\)，其中 (m) 和 (n) 是非負(fù)整數(shù)。
3. 小數(shù)位數(shù)的上限：
   為了使分?jǐn)?shù) \(\frac{a}{b}\) 變成一個(gè)整數(shù)，我們需要將其乘以 \((10^{\max(m, n)})\)。因此，有限小數(shù)的最大位數(shù)可以通過(guò)以下公式估算：
   \(a.precision + \lceil \frac{10 \cdot b.precision}{3} \rceil\)
   其中 (a.precision) 是分子 (a) 的位數(shù)，(b.precision) 是分母 (b) 的位數(shù)。

具體例子
假設(shè)我們有兩個(gè)數(shù)：
? this = 12345（精度為 5，因?yàn)橛?5 位數(shù)字）
? divisor = 678（精度為 3，因?yàn)橛?3 位數(shù)字）
我們想知道 12345 除以 678 的商，如果是有限小數(shù)，它的小數(shù)部分最多有多少位。根據(jù)公式：
\(5 + \lceil \frac{10 \cdot 3}{3} \rceil = 5 + \lceil 10 \rceil = 5 + 10 = 15\)
因此，12345 除以 678 的商，如果是有限小數(shù)，小數(shù)部分最多有 15 位。

額...是數(shù)論啊？那我走，打擾了，打擾了...

為什么你應(yīng)該用字符串來(lái)構(gòu)造BigDecimal

聰明的你應(yīng)該早就發(fā)現(xiàn)了，BigDecimal的構(gòu)造方法有很多個(gè)。應(yīng)該用哪個(gè)呢？很多人都知道應(yīng)該用字符串，可是為什么呢？
因?yàn)椋?dāng)你不用字符串的時(shí)候，會(huì)用很多意想不到的驚喜。

    BigDecimal strnum = new BigDecimal("12.1234");
    System.out.println(String.format("precision:%s scale:%s", strnum.precision(),strnum.scale()));//輸出 precision:6 scale:4

    BigDecimal num = new BigDecimal(12.1234);
    System.out.println(String.format("precision:%s scale:%s", num.precision(),num.scale()));//輸出precision:50 scale:48

下面一個(gè)刻度是48，這是什么鬼？

再試試除法

    BigDecimal one = new BigDecimal("0.1");
	BigDecimal eight = new BigDecimal("8");
    System.out.println(one.divide(eight));//輸出 0.0125

    BigDecimal _1 = new BigDecimal(0.1);
	BigDecimal _8 = new BigDecimal(8);
    System.out.println(_1.divide(_8));//輸出 0.0125000000000000006938893903907228377647697925567626953125

為什么會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)果？這個(gè)原因眾所周知：

二進(jìn)制（也稱(chēng)為基數(shù)2）不能精確表示某些十進(jìn)制數(shù)，尤其是那些在十進(jìn)制中有有限小數(shù)位但在二進(jìn)制中需要無(wú)限小數(shù)位的數(shù)。例如，0.1 和 0.2 在二進(jìn)制中無(wú)法精確表示。
這是因?yàn)槎M(jìn)制系統(tǒng)只能使用 0 和 1 來(lái)表示數(shù)值，而某些十進(jìn)制數(shù)在轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制時(shí)會(huì)變成無(wú)限循環(huán)小數(shù)。例如：
? 0.1 在二進(jìn)制中表示為 0.00011001100110011...（無(wú)限循環(huán)）
? 0.2 在二進(jìn)制中表示為 0.0011001100110011...（無(wú)限循環(huán)）
由于計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間有限，這些無(wú)限循環(huán)小數(shù)只能被截?cái)啵瑥亩鴮?dǎo)致精度損失。這就是為什么在使用浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)精度問(wèn)題。

如果你看源碼你會(huì)發(fā)現(xiàn) public BigDecimal(double val) 和 public BigDecimal(String val)的實(shí)現(xiàn)完全不同。或許你也會(huì)想為什么呢？為什么要實(shí)現(xiàn)兩套不同的呢？你就直接這樣：

public BigDecimal(double val) {
    this(String.valueOf(val));
}

不就完了？

至于JDK團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)兩套的原因是什么？你知道嗎？歡迎留言告訴我:)

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原文: https://wangxuan.me/tech/2024/07/16/the-precision-and-scale-of-BigDecimal.html