Ultraman_X

設總體\(X\thicksim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)為已知，\(\mu\)為未知的，設\(X_{1},X_{2}...X_{n}\)為總體\(X\)的樣本，則求\(\mu\)的置信區間。

知道\(\overline{X}是無偏估計\)，且有

按照標準正態分布的上a分位點定義有

得出\(\mu\) 的置信區間是$ (\overline{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{a/2}) \qquad \qquad (4.6)$

正態總體均值和方差的區間估計
(一) 單個總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的情況
設已給定置信水平為1-a,并設\(X_{1},X_{2}...X_{n}\)為總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的樣本，\(\overline{X}\)和\(S^2\)分布為樣本的均值和樣本方差。

1. 均值\(\mu\)的置信區間

• \(\sigma^2\)為已知，由上面的例子得出置信區間為 $ (\overline{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{a/2})$
• \(\sigma^2\)為未知，此時不能使用上面那個區間，因為里面還有未知參數\(\sigma\).可以考慮到\(S^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計，可以將上面的(4.2)式中的\(\sigma\)換為\(S = \sqrt{S^2}\),由正態總體的樣本均值和樣本方差分布的定理三知：

且右邊的分布\(t(n-1)\) 不依賴于任何一個未知參數，使用$ \frac{ \overline{X}- \mu }{S/\sqrt{n}} $ 作為樞軸量可得

即 $$ P{ \overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}}t_{a/2}(n-1) < \mu < \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}}t_{a/2}(n-1) } = 1- a$$ 于是得到\(\mu\)的置信水平為1-a的置信區間是$ (\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}}t_{a/2}(n - 1) ) $

(二) 兩個總體 \(N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)\),\(N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)\) 的情況

設已給定置信水平1-a,并設\(X_{1},X_{2}...X_{n}\)為來自第一個總體的樣本，\(Y_{1},Y_{2}...Y_{n}\)是來自第二個總體的樣本，這兩個樣本相互獨立，且\(\overline{X}\),\(\overline{Y}\)分別為第一個、第二個總體的樣本均值，\(S_{1}^2\),\(S_{2}^2\)分別是第一、二個總體的樣本方差。

1. 兩個總體均值差 \(\mu_{1}^2 - \mu_{2}^2\) 的置信區

\(\sigma_{1}^2\),\(\sigma_{2}^2\) 均為已知道，因為\(\overline{X}\),\(\overline{Y}\)分別為\(\mu_{1}\),\(\mu_{2}\)的無偏估計，固有\(\overline{X} - \overline{Y}\)是\(\mu_{1} - \mu_{2}\)的無偏估計。由\(\overline{X}\),\(\overline{Y}\)的獨立性以及\(\overline{X} \thicksim N(\mu,\sigma_{1}^2/n_{1})\),\(\overline{Y} \thicksim N(\mu,\sigma_{2}^2/n_{2})\) 得
$ \overline{X} - \overline{Y} \thicksim N(\mu_{1} - \mu_{2}, \frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}} )$ 置信區間為:

(0-1) 分布參數的區間估計
設來自(0-1)分布的總體X，分布律\(f(x;p) = p^x(1 - )^{1-x}, \qquad x = 0,1\) 其中p為未知參數，現在求p的置信水平為1-a的置信區間。已知(0-1)分布的均值和方差分布為 \(\mu = p,\qquad \sigma^2 = p(1-p)\) 設\(X_{1},X_{2}...X_{n}\)為來自一個總體的樣本,當n交大的時候，由中心極限定理知

近似的服從N(0,1)分布，于是有

而不等式 \(-z_{a/2}< \frac{n\overline{X} - np}{\sqrt{np(1-p)}} < z_{a/2}\) 等價于 $ (n + z_{a/2}^2)p2 - (2n\overline{X} + z_{a/2}^2)p + n\overline{X}^2 < 0 $

這樣會得出一個區間。